Chủ đề này có 2 trả lời

[VTK]

Một khối thập nhị diện đều có diện tích toàn phần là 12a². Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối thập nhị diện đều này?

 

[vkhoa]

Một khối thập nhị diện đều có diện tích toàn phần là 12a². Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối thập nhị diện đều này?

S mỗi mặt $=\frac35a^2$

$\Rightarrow$ cạnh $=2a\sqrt{\frac{\sqrt3}5}$

xem thêm bài viết này thể tích của khối hai mươi mặt đều cạnh a=1 là bao nhiêu

bán kính =cạnh .$\frac{\sqrt{2(5+\sqrt5)}}4 =\frac a2\sqrt{\frac{2\sqrt3(5 +\sqrt5)}5}$

[chanhquocnghiem]

Một khối thập nhị diện đều có diện tích toàn phần là 12a². Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối thập nhị diện đều này?

Diện tích mỗi mặt là $a^2$.Xét 1 mặt nào đó, chẳng hạn mặt $PQRST$ có tâm tại $I$.Gọi $J$ là trung điểm $PQ$.

Đặt $PQ=x$, ta có :

$S_{PQRST}=5PJ.IJ=5PJ.\left ( \frac{PJ}{\tan36^o} \right )=\frac{5x^2}{4\tan36^o}=\frac{5x^2}{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

Mà $S_{PQRST}=a^2$.Do đó suy ra $x=\frac{2\sqrt[4]{125-50\sqrt{5}}}{5}\ a$.

Xét đỉnh $A$ là điểm chung của $3$ cạnh $AA_1,AA_2,AA_3$.Ta có :

$\Delta A_1A_2A_3$ là tam giác đều có $A_1A_2=AA_1.2\cos36^o=2PQ\cos36^o=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ x$

Gọi $G$ là tâm tam giác đều $A_1A_2A_3\Rightarrow GA_1=A_1A_2.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{6}\ x$

$AG=\sqrt{AA_1^2-GA_1^2}=\frac{\sqrt{18-6\sqrt{5}}}{6}\ x=\frac{2}{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}\ x$

Gọi $M$ là trung điểm $AA_1$ ; $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối thập nhị diện đều.

$\Delta AMO\sim \Delta AGA_1\Rightarrow OA=\frac{MA.AA_1}{AG}$

Chú ý rằng $MA=\frac{AA_1}{2}=\frac{x}{2}$ ; $\frac{AA_1}{AG}=\frac{x}{AG}=\frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}{2}$

$\Rightarrow OA=\frac{x}{2}.\frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}{2}=\frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}{2}.\frac{\sqrt[4]{125-50\sqrt{5}}}{5}\ a=\frac{\sqrt[4]{9000+1800\sqrt{5}}}{10}\ a$.