Cho d và $d_1$ là 2 đường thẳng chéo nhau.Gọi A và B là 2 điểm cố định trên d và CD=1 (không đổi) di động trên $d_1$.Hãy tìm vị trí của CD để diện tích toàn phần của tứ diện là nhỏ nhất
Tìm vị trí của CD
#1
Đã gửi 01-01-2017 - 22:58
Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do
#2
Đã gửi 11-01-2017 - 16:58
Cho d và $d_1$ là 2 đường thẳng chéo nhau.Gọi A và B là 2 điểm cố định trên d và CD=1 (không đổi) di động trên $d_1$.Hãy tìm vị trí của CD để diện tích toàn phần của tứ diện là nhỏ nhất
Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $d_1$ ; $\beta$ là mặt phẳng chứa $d_1$ và song song với $d\Rightarrow \alpha //\beta$
Gọi $MN$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $d_1$ ($M\in d,N\in d_1$) $\Rightarrow d(\alpha ,\beta )=MN$
Kẻ $CH$ _|_ $d$ ; $DK$ _|_ $d$ ($H,K\in d$).Gọi $H',K'$ là hình chiếu của $H,K$ trên $\beta$
Dễ thấy rằng khi $CD$ di động trên $d_1$ thì $S_{ACD}$ và $S_{BCD}$ không đổi.Do đó diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow S_{CAB}+S_{DAB}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow CH+DK$ nhỏ nhất
Trên $d_1$ ta chọn chiều tùy ý làm chiều dương, chọn $N$ làm gốc tọa độ.Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tọa độ của $C$ là $x$ ; của $D$ là $x+1$
Gọi góc giữa $d$ và $d_1$ là $\varphi$ và đặt $MN=HH'=KK'=a$, $CH+DK=y$, ta có :
$y=\sqrt{CH'^2+HH'^2}+\sqrt{DK'^2+KK'^2}=\sqrt{x^2\sin^2\varphi +a^2}+\sqrt{(x+1)^2\sin^2\varphi +a^2}$
$y'=\frac{x\sin^2\varphi }{\sqrt{x^2\sin^2\varphi+a^2}}+\frac{(x+1)\sin^2\varphi}{\sqrt{(x+1)^2\sin^2\varphi+a^2}}$
$y'=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$
Tại $x=-\frac{1}{2}$, $y'$ đổi dấu từ âm sang dương nên đây là điểm cực tiểu (cũng là GTNN của $y=CH+DK$)
Từ đó suy ra diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất khi $N$ là trung điểm của $CD$ (trong đó $N$ là điểm thuộc $d_1$ sao cho $MN$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $d_1$ như đã nói trên).
- nguyenhongsonk612, tien123456789 và Element hero Neos thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh