Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm vị trí của CD

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Cho d và $d_1$ là 2 đường thẳng chéo nhau.Gọi A và B là 2 điểm cố định trên d và CD=1 (không đổi) di động trên $d_1$.Hãy tìm vị trí của CD để diện tích toàn phần của tứ diện là nhỏ nhất


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho d và $d_1$ là 2 đường thẳng chéo nhau.Gọi A và B là 2 điểm cố định trên d và CD=1 (không đổi) di động trên $d_1$.Hãy tìm vị trí của CD để diện tích toàn phần của tứ diện là nhỏ nhất

Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $d_1$ ; $\beta$ là mặt phẳng chứa $d_1$ và song song với $d\Rightarrow \alpha //\beta$

Gọi $MN$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $d_1$ ($M\in d,N\in d_1$) $\Rightarrow d(\alpha ,\beta )=MN$

Kẻ $CH$ _|_ $d$ ; $DK$ _|_ $d$ ($H,K\in d$).Gọi $H',K'$ là hình chiếu của $H,K$ trên $\beta$

Dễ thấy rằng khi $CD$ di động trên $d_1$ thì $S_{ACD}$ và $S_{BCD}$ không đổi.Do đó diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow S_{CAB}+S_{DAB}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow CH+DK$ nhỏ nhất

Trên $d_1$ ta chọn chiều tùy ý làm chiều dương, chọn $N$ làm gốc tọa độ.Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tọa độ của $C$ là $x$ ; của $D$ là $x+1$

Gọi góc giữa $d$ và $d_1$ là $\varphi$ và đặt $MN=HH'=KK'=a$, $CH+DK=y$, ta có :

$y=\sqrt{CH'^2+HH'^2}+\sqrt{DK'^2+KK'^2}=\sqrt{x^2\sin^2\varphi +a^2}+\sqrt{(x+1)^2\sin^2\varphi +a^2}$

$y'=\frac{x\sin^2\varphi }{\sqrt{x^2\sin^2\varphi+a^2}}+\frac{(x+1)\sin^2\varphi}{\sqrt{(x+1)^2\sin^2\varphi+a^2}}$

$y'=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Tại $x=-\frac{1}{2}$, $y'$ đổi dấu từ âm sang dương nên đây là điểm cực tiểu (cũng là GTNN của $y=CH+DK$)

Từ đó suy ra diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất khi $N$ là trung điểm của $CD$ (trong đó $N$ là điểm thuộc $d_1$ sao cho $MN$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $d_1$ như đã nói trên).


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh