Xét số sau :
$$S = 2\sum ab - \sum a^{2}$$
Giả sử tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn đề bài và là ba cạnh tam giác . Thì do là cạnh tạm giác ta có bdt quen thuộc
$$\sum a^{2} < \sum 2ab$$
Do đó $S$ không âm , chia hết cho cả $3$ số $a,b,c$ . Nhưng từ điều kiện ta thấy $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi do đó $abc|S$ và suy ra $S \geq abc$ . Gọi $c = min(a,b,c) => S < 3ab$ ( vì không có hai cạnh bằng nhau ) . Vì vậy nên $c < 3$ hay $c = 1,2$ .
Nếu $c=1$ ta giả sử $a>b$ thế thì $b<a<b+c=b+1$ ( vô lý )
Nếu $c=2$ ta có thể giả sử $a=b+1$ nhưng khi đó $c=2 | (a-b)^{2}=1$ ( vô lý )
Vậy giả sử sai , ta có đpcm .
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$