Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết

Bài toán. (Baltic Way Contest) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$. Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài 3 cạnh là $a, b, c$ 

 Tam giác suy biến là tam giác có độ dài 1 cạnh bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 02-01-2017 - 18:25

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Xét số sau : 

$$S = 2\sum ab  - \sum a^{2}$$

Giả sử tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn đề bài và là ba cạnh tam giác . Thì do là cạnh tạm giác ta có bdt quen thuộc

$$\sum a^{2} < \sum 2ab$$

Do đó $S$ không âm , chia hết cho cả $3$ số $a,b,c$ . Nhưng từ điều kiện ta thấy $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi do đó $abc|S$ và suy ra $S \geq abc$ . Gọi $c = min(a,b,c) => S < 3ab$ ( vì không có hai cạnh bằng nhau ) . Vì vậy nên $c < 3$ hay $c = 1,2$ . 

Nếu $c=1$ ta giả sử $a>b$ thế thì $b<a<b+c=b+1$ ( vô lý ) 

Nếu $c=2$ ta có thể giả sử $a=b+1$ nhưng khi đó $c=2 | (a-b)^{2}=1$ ( vô lý ) 

Vậy giả sử sai , ta có đpcm . 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh