Đến nội dung

Hình ảnh

Kí hiệu $d\left ( n \right )$ là ước dương lớn nhất của số nguyên dương $n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Cis

Cis

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

1/Kí hiệu $d\left ( n \right )$ là ước dương lớn nhất của số nguyên dương $n$. Tính $d\left ( 1 \right )+d\left ( 2 \right )+d\left ( 3 \right )+...+d\left ( 2^{2016} \right )$.

2/Kí hiệu $s\left (n \right )$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của số nguyên dương $n$. Chứng minh $s\left ( 6n \right )\leq 12s\left ( n \right ),\forall n \in \mathbb{N}$. Dấu '=' xảy ra khi nào ?

3/Kí hiệu $S\left ( n \right )$ là tổng tất cả các chữ số của số nguyên $n$.

i/ Chứng minh $S\left ( a \right )+S\left ( b \right )\geq S\left ( a+b \right ),\forall a,b \in \mathbb{N}$

ii/ Chứng minh $S\left ( 2n \right ) \leq 2S\left ( n \right ) \leq 10S\left ( 2n \right )$



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Bài 3 : a) Đặt $a=\overline{a_k...a_0},b=\overline{b_m...b_0}$ 
Giả sử $a \ge b \Rightarrow k \ge m$ . Ta qui ước như sau : 
Ta chứng minh bằng qui nạp : 
$k=0 \Rightarrow m=0$ thì ngang đây dễ có đpcm  
Giả sử đúng đến $k-1$ ta chứng minh cũng đúng với $k$ 
Chú ý $a,b$ có thể viết lại như sau 
$a=10.\overline{a_{k-1}...a_1}+a_0,b=10.\overline{b_{k-1}...b_1}+b_0$ 
Đặt $\overline{a_{k-1}...a_1}=a' \Rightarrow S(10a')=S(a')$ 
Tương tự với $b'={b_{k-1}...b_1} \Rightarrow S(10b')=S(b')$ 
Khi đó $S(a)=a_0+S(a'),S(b)=b_0+S(b')$ . Theo giả thiết qui nạp thì $S(a'+b') \le S(a')+S(b')$  
Mặc khác $a+b=10(a'+b')+a_0+b_0 \Rightarrow S(a+b) \le S(a'+b')+a_0+b_0 \le S(a')+a_0+S(b')+b_0 \le S(a)+S(b)$ 
b) Bất đẳng thức đầu không có gì khó : $S(2n) \le S(n)+S(n)=2S(n)$ 
Bất đẳng thức lại tiếp tục sử dụng bổ đề sau $S(n_1n_2) \le S(n_1)S(n_2)$ với mọi $n_1,n_2$ nguyên dương  
Ta có $S(2n)=S(5.2n) \le S(5) \le S(2n)=5S(2n) \Rightarrow 2S(n) \le 10S(2n)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 04-01-2017 - 20:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh