Cho $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ là các số nguyên dương không vượt quá n thỏa mãn BCNN ($a_{i},a_{j}$)>n với mọi 0<i<j<k+1.
CMR : $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k}}<2$
Cho $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ là các số nguyên dương không vượt quá n thỏa mãn BCNN ($a_{i},a_{j}$)>n với mọi 0<i<j<k+1.
CMR : $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k}}<2$
:ph34r:người đàn ông bí ẩn
Vì $(a_i,a_j)<n \forall 0<i<j<k+1 \Rightarrow$ không tồn tại số nguyên dương nào không vượt quá $m$ là bội của cặp số đã cho
Đặt $A_i=\{x \in \mathbb{N},x \vdots a_i,n \ge x \ge 1}\$
Suy ra $|A_i|=[\frac{n}{a_i}]$
Rõ ràng $|A_i| \cap |A_j|=\varnothing ,i \ne j \Rightarrow |A_1 \cap A_2 \cap... \cap A_k|=\sum_{i=1}^k |A_i|=\sum_{i=1}^k [\frac{n}{a_i}]$ (1)
Rõ ràng $|A_i| \le n-1 \forall 1 \le i \le n$ nên từ (1) suy ra $\sum_{i=1}^k [\frac{n}{a_i}] \le n-1$
Chú ý bất đẳng thức sau $x-1<[x]$ nên từ dòng trên ta có $\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i} \le \frac{n-1+k}{n}=1+\frac{k-1}{n}$
Ta sẽ đi chứng minh $k-1<\frac{n}{2}$
Trong các số $a_1,a_2,..a_k$ thì nếu ta chọn ra $2$ số bất kì thì hai số đó phải có ước lẻ khác nhau (cái này dễ rồi nên bạn tự chứng minh)
Do vậy $k$ sẽ phải bé hơn số số lẻ từ $1 \Rightarrow n$ từ đó $k-1<\frac{n}{2}$
Từ đó ta có $\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}<\frac{3}{2}<2$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 04-01-2017 - 13:16
bạn ơi. có một đoạn bị lỗi mình không dịch được.
Cảm ơn bạn nhiều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Maytroi: 04-01-2017 - 17:13
:ph34r:người đàn ông bí ẩn
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh