Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ là các số nguyên dương không vượt quá n

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Cho $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ là các số nguyên dương không vượt quá n thỏa mãn BCNN ($a_{i},a_{j}$)>n với mọi 0<i<j<k+1.

CMR : $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k}}<2$


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Vì $(a_i,a_j)<n \forall 0<i<j<k+1 \Rightarrow$ không tồn tại số nguyên dương nào không vượt quá $m$ là bội của cặp số đã cho  
Đặt $A_i=\{x \in \mathbb{N},x \vdots a_i,n \ge x \ge 1}\$ 
Suy ra $|A_i|=[\frac{n}{a_i}]$ 
Rõ ràng $|A_i| \cap |A_j|=\varnothing ,i \ne j \Rightarrow |A_1 \cap A_2 \cap... \cap A_k|=\sum_{i=1}^k |A_i|=\sum_{i=1}^k [\frac{n}{a_i}]$ (1)
Rõ ràng $|A_i| \le n-1 \forall 1 \le i \le n$ nên từ (1) suy ra $\sum_{i=1}^k [\frac{n}{a_i}] \le n-1$ 
Chú ý bất đẳng thức sau $x-1<[x]$ nên từ dòng trên ta có $\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i} \le \frac{n-1+k}{n}=1+\frac{k-1}{n}$ 
Ta sẽ đi chứng minh $k-1<\frac{n}{2}$  
Trong các số $a_1,a_2,..a_k$ thì nếu ta chọn ra $2$ số bất kì thì hai số đó phải có ước lẻ khác nhau (cái này dễ rồi nên bạn tự chứng minh) 
Do vậy $k$ sẽ phải bé hơn số số lẻ từ $1 \Rightarrow n$ từ đó $k-1<\frac{n}{2}$ 
Từ đó ta có $\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}<\frac{3}{2}<2$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 04-01-2017 - 13:16


#3
Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

bạn ơi. có một đoạn bị lỗi mình không dịch được. 

Cảm ơn bạn nhiều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Maytroi: 04-01-2017 - 17:13

:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh