Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{3a+b^2}+\frac{b}{3b+c^2}+\frac{c}{3c+a^2}\leq \frac{3}{4}$

[tritanngo99]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{3a+b^2}+\frac{b}{3b+c^2}+\frac{c}{3c+a^2}\leq \frac{3}{4}$

Ta có: $\sum \frac{a}{3a+b^2}\le \frac{3}{4}\iff \sum \frac{3a}{3a+b^2}\le \frac{9}{4}\iff \sum(1-\frac{3a}{3a+b^2})\ge \frac{3}{4}$.

$\iff \sum \frac{b^2}{3a+b^2}\ge \frac{3}{4}\iff \sum \frac{b^2}{(b+a)(b+c)}\ge \frac{3}{4}$ (Thay $3=a+b+c$ vào biểu thức dưới mẫu).

Tóm lại ta cần chứng minh: $\sum \frac{b^2}{(b+a)(b+c)}\ge \frac{3}{4}$.

Thật vậy: Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:

 $\sum \frac{b^2}{(b+a)(b+c)}\ge \frac{(\sum a)^2}{\sum (b+a)(b+c)}\ge \frac{(\sum a)^2}{\frac{1}{3}(\sum (a+b))^2}=\frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(\sum a)^2}=\frac{3}{4}\implies Q.E.D$. 

[Baoriven]

Một cách khác.

Ta cần chứng minh: $\frac{b^2}{b^2+3a}+\frac{c^2}{c^2+3b}+\frac{a^2}{a^2+3c}\geq \frac{3}{4}.$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{b^2}{b^2+3a}+\frac{c^2}{c^2+3b}+\frac{a^2}{a^2+3c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+3(ab^2+bc^2+ca^2)}.$

Sử dụng điều kiện $a+b+c=3$ ta cần chứng minh bđt sau là đủ:

$4(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3[(a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c)+ab^3+bc^3+ca^3]$.

Theo BĐT $AM-GM$, ta có: $(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq abc(a+b+c)$.

Theo BĐT $Vasc$, ta có: $ab^3+bc^3+ca^3\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$.

Kết hợp $2$ BĐT trên ta có đpcm.

[yeutoan2001]

Ta có: $\sum \frac{a}{3a+b^2}\le \frac{3}{4}\iff \sum \frac{3a}{3a+b^2}\le \frac{9}{4}\iff \sum(1-\frac{3a}{3a+b^2})\ge \frac{3}{4}$.

$\iff \sum \frac{b^2}{3a+b^2}\ge \frac{3}{4}\iff \sum \frac{b^2}{(b+a)(b+c)}\ge \frac{3}{4}$ (Thay $3=a+b+c$ vào biểu thức dưới mẫu).

Tóm lại ta cần chứng minh: $\sum \frac{b^2}{(b+a)(b+c)}\ge \frac{3}{4}$.

Thật vậy: Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:

 $\sum \frac{b^2}{(b+a)(b+c)}\ge \frac{(\sum a)^2}{\sum (b+a)(b+c)}\ge \frac{(\sum a)^2}{\frac{1}{3}(\sum (a+b))^2}=\frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(\sum a)^2}=\frac{3}{4}\implies Q.E.D$. 

   Sao bằng được $3a+b^{2}\neq (b+a)(b+c)$