Chủ đề này có 8 trả lời

[Thuat ngu]

Cho dãy số ($U_{n}$) thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} U_{0}=1; U_{1}=2014& & \\ U_{n+1}=\sqrt[3]{U_{n}.U_{n-1}^{2}}& & \forall n\geqslant 1 \end{matrix}\right.$

Tìm giới hạn của ($U_{n}$).

[tritanngo99]

Cho dãy số ($U_{n}$) thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} U_{0}=1; U_{1}=2014& & \\ U_{n+1}=\sqrt[3]{U_{n}.U_{n-1}^{2}}& & \forall n\geqslant 1 \end{matrix}\right.$

Tìm giới hạn của ($U_{n}$).

Ta có: $U_{n+1}=\sqrt[3]{U_n.U_{n-1}^2}\implies U_{n+1}^3=U_n.U_{n-1}^2$.

Tương tự ta có: $\left\{\begin{matrix} U_{n}^3=U_{n-1}.U_{n-2}^2\\ U_{n-1}^3=U_{n-2}.U_{n-3}^3\\...\\ U_2^3=U_1.U_0^2  \end{matrix}\right.$.

Nhân các đẳng thức trên vế theo vế và rút gọn ta được:

$U_{n+1}^3=\frac{U_0^2.U_1^3}{U_n^2}=\frac{U_1^3}{U_n^2}\implies U_{n+1}=U_1.U_n^{\frac{-2}{3}}$.

Đặt: $(U_1;\frac{-2}{3})=(a;b)\implies U_{n+1}=a.U_n^{b}(1)\implies U_n=a.U_{n-1}^b(2)$.

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $U_{n+1}=a.(a.U_{n-1}^b)^b=a.a^b.U_{n-1}^{b^2}$.

Tương tự như vậy ta có: $U_{n+1}=a.a^{b}...a^{b^k}.(U_{n-k})^{b^{k+1}}$.

Bằng quy nạp ta chứng minh được: $U_{n+1}=a^{\sum_{i=0}^n b^i}.U_0^{b^{n+1}}=a^{\sum_{i=0}^n b^i}(\text{ do } U_0=1)$.

Mặt khác: $\sum_{i=0}^n b^i=\frac{b^{n+1}-1}{b-1}$.

Do $b<1$ nên $n\to +\infty\implies b^{n+1}=0\implies lim(U_{n+1})=a^{\frac{0-1}{b-1}}=2014^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{2014^3}$. 

[Thuat ngu]

Em cảm ơn anh nhiều! Mấy dạng kiểu này có định hướng chung không ạ?

[vietdohoangtk7nqd]

mấy cái này khá cơ bản, lấy ln hai vế rồi dùng dãy truy hồi

[Thuat ngu]

mấy cái này khá cơ bản, lấy ln hai vế rồi dùng dãy truy hồi

Cụ thể hơn đi bạn, ln kiểu gì được? Có ví dụ thì tốt quá!

[vietdohoangtk7nqd]

Ban hoc lớp mấy , cái này lớp 12 mới học được, không những lấy ln mà có thể lấy log bất kỳ đều được còn dãy truy hồi thì có thể kiếm trên mạng mấy cái đó thông dụng lắm

[Thuat ngu]

Lớp 12 rồi bạn ơi, ln, log cũng biết sơ sơ rồi, bạn có tài liệu về mấy cái này thì cho mình xin với, nhất là mấy cái dãy số mà khi cho qua giới hạn thành cái luôn đúng ý.

[Thuat ngu]

Ban hoc lớp mấy , cái này lớp 12 mới học được, không những lấy ln mà có thể lấy log bất kỳ đều được còn dãy truy hồi thì có thể kiếm trên mạng mấy cái đó thông dụng lắm

Lớp 12 rồi bạn ơi, ln, log cũng biết sơ sơ rồi, bạn có tài liệu về mấy cái này thì cho mình xin với, nhất là mấy cái dãy số mà khi cho qua giới hạn thành cái luôn đúng ý.

[An Infinitesimal]

Cụ thể hơn đi bạn, ln kiểu gì được? Có ví dụ thì tốt quá!

 

 

Cho dãy số ($U_{n}$) thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} U_{0}=1; U_{1}=2014& & \\ U_{n+1}=\sqrt[3]{U_{n}.U_{n-1}^{2}}& & \forall n\geqslant 1 \end{matrix}\right.$

Tìm giới hạn của ($U_{n}$).

 

Tuyến tính hóa- đưa về dãy truy hồi tuyến tính: vì $u_n>0$ nên

$\ln U_{n+1}=\frac{1}{3}\ln U_{n}+\frac{2}{3} \ln U_{n-1}.$

Do đó khi đặt $v_n= \ln U_n \forall n\in \mathbb{N}$, ta có dãy 

$$\begin{cases}v_n=?, v_2=?,\\ v_{n+1}= \frac{1}{3} v _n+\frac{2}{3}v_{n-1} \forall n\ge 2. \end{cases}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 29-03-2017 - 07:52