Chủ đề này có 1 trả lời

[conanthamtulungdanhkudo]

cho dãy(Un) được xác định như sau:$U_{0}=\frac{1}{2}$;$U_{n+1}=\frac{U_{n}^2+5}{2(U_{n}+2)}$

Chứng minh $(U_{n})$ có giới hạn.Tìm $\lim U_{n}$

[tritanngo99]

cho dãy(Un) được xác định như sau:$U_{0}=\frac{1}{2}$;$U_{n+1}=\frac{U_{n}^2+5}{2(U_{n}+2)}$

Chứng minh $(U_{n})$ có giới hạn.Tìm $\lim U_{n}$

Nhận xét: Do $U_0>0\implies U_n>0\forall n\in \mathbb{N}$

Đặt $f(x)=\frac{x^2+5}{2(x+2)}\implies x^2+5=2xf(x)+4f(x)(f(x)>0\forall x)$.

$\iff x^2-2xf(x)+5-4f(x)=0$. Xét $\Delta'_x=f^2(x)+4f(x)-5=(f(x)-1)(f(x)+5)$.

Ta có: $\Delta'_x\ge 0\iff f(x)-1\ge 0\implies f(x)\ge 1\forall x$.

Từ đây suy ra: $U_n\ge 1\forall n\in \mathbb{N}^*$.

Khi đó: Xét $U_{n+1}-U_{n}=\frac{(1-U_n)(5+U_n)}{2(U_n+2)}\le 0\forall n\in \mathbb{N}^*\implies U_{n+1}\le U_n\forall n\in \mathbb{N}^*$.

$\implies (U_n)$ là dãy giảm $(n\in \mathbb{N}^*)$.

Mặt khác $U_n\ge 1\forall n\in \mathbb{N}^*\implies (U_n)$ hội tụ.

Đặt $a=lim(U_n)(a\ge 1)$. Lấy giới hạn hai vế ta được: $a=\frac{a^2+5}{2(a+2)}\implies a=1$.

Vậy $(U_n)$ có giới hạn và $lim(U_n)=1$