Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đòng thời các điều kiện : $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguyên tố 


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Quy về bài toán tìm $a,c$ để $a^2+ac+c^2$ là một số nguyên tố và $(a;c)=1$.

Do để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

Quy về bài toán tìm $a,c$ để $a^2+ac+c^2$ là một số nguyên tố và $(a;c)=1$.
Do để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$.

Bạn có thể giải đoạn sau không , mình còn vướng đoạn sau . Đoạn đầu mình giải được rồi

      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#4
NguyenTaiTue

NguyenTaiTue

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

a=b=c=1 :) 



#5
NguyenTaiTue

NguyenTaiTue

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

Dễ cm: $a=kb=k^{2}c$

$\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=(k^{4}+2k^{2})c^{2}$
$c\neq 1$ vô lí
$c=1\rightarrow k=1\rightarrow a=b=1$ :)


#6
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.

Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.

Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.

Còn trường hợp còn lại :

Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...

Còn vướng chỗ này.

 

P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#7
NguyenTaiTue

NguyenTaiTue

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.

Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.

Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.

Còn trường hợp còn lại :

Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...

Còn vướng chỗ này.

 

P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?

nhầm r :v em tưởng k nguyên :v 



#8
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.

Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.

Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.

Còn trường hợp còn lại :

Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...

Còn vướng chỗ này.

 

P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?

 

Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đòng thời các điều kiện : $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguyên tố 

Để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ thì $ca=b^2$ 
Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+c-b)(a+c+b)$ là số nguyên tố ....






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh