Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đòng thời các điều kiện : $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguyên tố
$\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguy
#1
Đã gửi 06-01-2017 - 19:57
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
#2
Đã gửi 06-01-2017 - 21:18
Quy về bài toán tìm $a,c$ để $a^2+ac+c^2$ là một số nguyên tố và $(a;c)=1$.
Do để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$.
- Thoang0913 yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 06-01-2017 - 21:23
Bạn có thể giải đoạn sau không , mình còn vướng đoạn sau . Đoạn đầu mình giải được rồiQuy về bài toán tìm $a,c$ để $a^2+ac+c^2$ là một số nguyên tố và $(a;c)=1$.
Do để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$.
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
#4
Đã gửi 06-01-2017 - 21:28
a=b=c=1
#5
Đã gửi 06-01-2017 - 21:31
Dễ cm: $a=kb=k^{2}c$
#6
Đã gửi 06-01-2017 - 21:35
Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.
Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.
Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.
Còn trường hợp còn lại :
Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...
Còn vướng chỗ này.
P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?
- Thoang0913 yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#7
Đã gửi 06-01-2017 - 21:47
Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.
Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.
Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.
Còn trường hợp còn lại :
Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...
Còn vướng chỗ này.
P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?
nhầm r :v em tưởng k nguyên :v
#8
Đã gửi 07-01-2017 - 14:08
Mình có ý tưởng mà vướng khúc cuối.
Trường hợp: $a,c$ cùng số dư khi chia cho $3$.
Thì được $a^2+ac+c^2$ chia hết cho $3$ nên $a=c=1$. Suy ra $b=1$.
Còn trường hợp còn lại :
Do $(a;c)=1$ và $ac=b^2$ thì $a,c$ là các số chính phương. ...
Còn vướng chỗ này.
P/S: Cách của NguyenTaiTue giải thích rõ được không ? Trong trường hợp $k$ hữu tỉ thì sao ?
Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đòng thời các điều kiện : $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là số nguyên tố
Để $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ thì $ca=b^2$
Từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+c-b)(a+c+b)$ là số nguyên tố ....
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh