Chủ đề này có 2 trả lời

[basketball123]

Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{2}x-\sqrt{3}}{x-1}(C)$ Tìm tọa độ hai điểm $A,B$ thuộc hai nhánh khác nhau của $(C)$ sao cho độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất

[coi98]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi coi98: 19-01-2017 - 23:01

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{2}x-\sqrt{3}}{x-1}(C)$ Tìm tọa độ hai điểm $A,B$ thuộc hai nhánh khác nhau của $(C)$ sao cho độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất

$y'=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(x-1)^2}$

Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là $I(1;\sqrt{2})$

Trước hết ta tìm điểm $M$ trên nhánh trái sao cho tiếp tuyến $d_1$ của đồ thị tại $M$ vuông góc với $IM$

Hệ số góc của $d_1$ là $k=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(x_M-1)^2}$

Hệ số góc của $IM$ là $k'=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(x_M-1)^2}$

$d_1$ _|_ $IM\Rightarrow k.k'=-1\Rightarrow x_M=1-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (vì $x_M< 1$) ; $y_M=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$

Do tính đối xứng, trên nhánh phải cũng tồn tại điểm $N$ sao cho tiếp tuyến $d_2$ của đồ thị tại $N$ vuông góc với $IN$ ($M$ và $N$ đối xứng với nhau qua $I$) $\Rightarrow x_N=1+\sqrt{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ ; $y_N=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$

Bây giờ lấy điểm $M'$ tùy ý trên nhánh trái, điểm $N'$ tùy ý trên nhánh phải.Giả sử $M'N'$ cắt $d_1$ và $d_2$ tại $P,Q$ ($PQ$ thuộc đoạn $M'N'$).Ta có $M'N'\geqslant PQ\geqslant MN$

Vậy 2 điểm $M,N$ cũng chính là 2 điểm $A,B$ cần tìm.

Giả thiết $x_A< x_B$, ta có :

$x_A=1-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ ; $y_A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$

$x_B=1+\sqrt{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ ; $y_B=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$