Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $u_{1996}\vdots 1997$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} &u_{1}=7,u_{2}=50 \\ &u_{n+1}=4u_{n}+5u_{n-1}-1975 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $u_{1996}\vdots 1997$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-01-2017 - 20:36

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#2
Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết

 

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} &u_{1}=7,u_{2}=50 \\ &u_{n+1}=4u_{n}+5u_{n-1}-1975 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi $n\in N, n> 1$ thì $u_{1996}\vdots 1997$

 

Ta có

$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$

Đặt

$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$

Khi đó thì

$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$x^2-4x-5=0$

Có $2$ nghiệm là

$x_1=5; x_2=-1$

Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là

$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$

Ta lại có

$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$

Từ đó tìm ra

$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$

Do đó công thức của $u_n$ là

$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$

Suy ra 

$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$

Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có

$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$

Vậy ta có đpcm.

 

P/s: Cách này trâu bò nhỉ?



#3
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Ta có

$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$

Đặt

$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$

Khi đó thì

$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$x^2-4x-5=0$

Có $2$ nghiệm là

$x_1=5; x_2=-1$

Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là

$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$

Ta lại có

$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$

Từ đó tìm ra

$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$

Do đó công thức của $u_n$ là

$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$

Suy ra 

$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$

Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có

$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$

Vậy ta có đpcm.

 

P/s: Cách này trâu bò nhỉ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 10-01-2017 - 12:34

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#4
Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết

 

 

$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$

 

 

Mình nhầm chưa thay $n$.

Ta có

$u_{1996}=\frac{-1747.5^{1996}+(-1)^{1996}.20050+29625}{120}=\frac{-1747.5^{1996}+49675}{120}\equiv 0(mod 1997)$



#5
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Còn có cách nào khác cho bài toán này nữa không nhỉ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 10-01-2017 - 12:40

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh