Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Như vậy bài toán Tuần 1 tháng 1 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. $S,T$ là hai điểm cố định trên $(O)$. $PS,PT$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $EF$ cắt một đường tròn $(K)$ cố định qua $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQR)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 Screen Shot 2017-01-09 at 6.05.53 AM.png


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Gọi $BS$ cắt $CT$ tại $M$ áp dụng pascal $\binom{SAT}{CPB}$ thì $M$ thuộc $EF$ . $AM$ cắt $(O)$ tại $H$ . áp dụng Passcal cho bộ $\binom{H B T}{C P A}$ suy ra $HP$, $CB$ ,$ EF$ đồng quy tại $G$ , xét trục đẳng phương của 3 đường tròn $(O),(K),(PQR)$ thì suy ra $PH$ là trục đẳng phương của $(O)$ là $(PQR)$ suy ra $H$ cố định thuộc $(PQR)$ , $MH$cắt $(PQR)$ tại $H'$ thì $MH.MH'$ bằng phương tích của $M$ đến $(K)$ nên $H'$ cũng cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 09-01-2017 - 08:38

~O)  ~O)  ~O)


#3
quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?



#4
SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
Bài toán này là mở rộng của bài 7b VMO năm nay.
$ J≡BS∩CT,X≡AJ∩EF $
$=>(ST,AX)=(BC,AX), X,J$ cố định.
Áp dụng định lý Pascal cho $(\begin{array}{} A & S & T \\ P & C & B  \end{array})$, ta co $E,F,J$ thẳng hàng.
$D≡PX∩BC, G≡AP∩BC, \left\lbrace A,L \right\rbrace=AD∩(O)$
$P(AD,EF)=(AX,ST)=(AX,BC)=P(GD,BC)=A(GD,BC)=A(PD,EF)$
$=>D,E,F$ thẳng hàng.
$=>\overline{DP}.\overline{DX}=\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DQ}.\overline{DR}$
$=> (PQR)$ đi qua $X$ cố định.
$\left\lbrace X,Y \right\rbrace=(PQR)∩AJ$
$\overline{JY}=\frac{\overline{JP}.\overline{JQ}}{\overline{JX}}=\frac{\mathscr{P}_ J/(K)}{\overline{JX}}=  const$
$=>Y$ cố định (q.e.d)

HSGS in my heart  :icon12:


#5
SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?

X,Y,E,F không thẳng hàng đâu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 09-01-2017 - 18:51

HSGS in my heart  :icon12:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh