Chủ đề này có 4 trả lời

[tienduc]

Cho $x$ nguyên dương thỏa $2+2\sqrt{2x^{2}+1}$ là số nguyên. CM $2+2\sqrt{12x^{2}+1}$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 10-01-2017 - 12:00

[tay du ki]

Cho $x$ nguyên dương thỏa $2+2\sqrt{2x^{2}+1}$ là số nguyên. CM $2+2\sqrt{2x^{2}+1}$ là số chính phương

hình như phải là $\sqrt{12x^{2}+1}$ chứ nhỉ             

[viet9a14124869]

hình như là $\sqrt{12x^2+1}$  đấy

[tienduc]

hình như phải là $\sqrt{12x^{2}+1}$ chứ nhỉ             

Xin lỗi mình viết nhầm phải là $\sqrt{12x^{2}+1}$

[tay du ki]

Giải như sau:
Để A nguyên thì $\sqrt{12n^2+1}$ nguyên suy ra $12n^2+1$ là số chính phương.
Đặt $12n^2+1=a^2$ như vậy $12n^2=(a-1)(a+1)$
Dễ thấy $(a-1)(a+1)$ chia hết cho 12 suy ra $(a-1);(a+1)$ cùng chẵn nên đặt $a-1=2x,a+1=2y$ <2>
Nhưng lại thấy $gcd(a-1,a+1)=1,2$ mà chúng cùng chắn nên $gcd(a-1,a+1)=2$ do vậy $gcd(x,y)=1$ <1>
Do vậy $3n^2=xy$
Th1: $x$ chia hết cho 3 suy ra theo <1> thì $y$ không chia hết cho 3
Đặt $x=3k$ cũng suy ra $gcd(k,y)=1$ và $n^2=ky$ sở dĩ k,y nguyên tố cùng nhay suy ra mỗi số là chính phương
Do vậy $n^2=p^2.q^2;k=p^2,y=q^2$ như vậy theo <2> thì $a=2q^2-1$
Như vậy $A=2+\sqrt{12n^2+1}=2+2a=4q^2$ là số chính phương $đpcm$
Th2: $y$ chia hết cho 3 suy ra $y=3t$ và xét tương tự như trên.
Vậy ta có bài toán được chứng minh hoàn toàn