Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh MN vuông góc với AL

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Cho $\triangle$ ABC không cân tại A nội tiếp (O) trực tâm H. K là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với AK cắt BH,CH ở X,Y. M,N là trung điểm của BY, CX. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại L. CMR AL $\perp$ MN


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 10-01-2017 - 10:22

Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#2
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

- SXY cắt AH tại I, dễ chứng minh được I là trung điểm của AH, từ đó chứng minh AXHY là hình bình hành. Vậy I là trung điểm của XY.

 

- MN cắt SH tại P, cắt IK tại Q. Theo đường Gauss thì P là trung điểm của SH. IMKN là hình bình hành nên Q là trung điểm của IK và MN.

 

- IHKO là hình bình hành, Q là trung điểm của IK nên Q là trung điểm của HO.

 

- Tam giác AHO có P là trung điểm SH, Q là trung điểm HO nên PQ // SO hay MN // SO.

 

- AL cắt (O) tại D, dễ thấy SA, SD là 2 tiếp tuyến của (O). Vậy SO vuông góc với AL.

 

Do MN // SO nên MN vuông góc với AL (đpcm).

 

(bài này gần giống bài trường đông toán học nhỉ, mà thày quanghung cũng đã có bài mở rộng?) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantv2006: 10-01-2017 - 15:09


#3
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

- SXY cắt AH tại I, dễ chứng minh được I là trung điểm của AH, từ đó chứng minh AXHY là hình bình hành. Vậy I là trung điểm của XY.

 

- MN cắt SH tại P, cắt IK tại Q. Theo đường Gauss thì P là trung điểm của SH. IMKN là hình bình hành nên Q là trung điểm của IK và MN.

 

- IHKO là hình bình hành, Q là trung điểm của IK nên Q là trung điểm của HO.

 

- Tam giác AHO có P là trung điểm SH, Q là trung điểm HO nên PQ // SO hay MN // SO.

 

- AL cắt (O) tại D, dễ thấy SA, SD là 2 tiếp tuyến của (O). Vậy SO vuông góc với AL.

 

Do MN // SO nên MN vuông góc với AL (đpcm).

 

(bài này gần giống bài trường đông toán học nhỉ, mà thày quanghung cũng đã có bài mở rộng?) 

Bạn có thể CM cho mình phần này được không?


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#4
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Bạn có thể CM cho mình phần này được không?

Dễ thấy I là trực tâm tam giác ASK nên KI vuông góc với AS. Vậy KI // AO. Do đó AOKI là hình bình hành. Vậy AI = OK hay I là trung điểm của AH.

 

Tam giác XIH và AKC đồng dạng (góc XHI = góc ACK; góc XIH = góc AKC = 90 + góc XSB). Do I là trung điểm AH, K là trung điểm BC nên tam giác XAH và ABC đồng dạng. Từ đó có AX // HC.

 

AX// HC, I là trung điểm AH nên AXHY là hình bình hành.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh