Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
a) $a_n<1,\forall n$
b) $a_1+a_2+...+a_n<1$
Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
a) $a_n<1,\forall n$
b) $a_1+a_2+...+a_n<1$
Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
a) $a_n<1,\forall n$
b) $a_1+a_2+...+a_n<1$
Câu a)$a_{n}$$<1$(*)
giải bằng pp quy nạp
Với n=1 ta thấy (*) đúng
Giả sử (*) đúng khi n=k ta cần c/m nó cũng đúng khi n=k+1
$a_{k+1}<1$$\Leftrightarrow$$\frac{a_{k}^{2}}{a_{k}^{2}-a_{k}+1}-1< 0$$\Leftrightarrow \frac{a_{k}-1}{a_{k}^{2}-a_{k}+1}< 0$==>đúng theo giả thiết quy nạp
Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
a) $a_n<1,\forall n$
b) $a_1+a_2+...+a_n<1$
Vì $a_k<1\,\forall k\ge 1$ nên $a_{k+1}=\frac{a_k^2}{a_k^2+1-a_k}<a_k^2\forall k\ge 1.$
Do đó $a_k\le \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{k-1}} \le \left( \frac{1}{2}\right)^{k} \forall k\ge 2,$ và $a_1=\frac{1}{2}.$
Suy ra
$$a_1+a_2+...+a_n\le 1/2+\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k}<1.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 15-01-2017 - 15:15
Đời người là một hành trình...
Vì $a_k<1\,\forall k\ge 1$ nên $a_{k+1}=\frac{a_k^2}{a_k^2+1-a_k}<a_k^2\forall k\ge 1.$
Do đó $a_k\le \left(\frac{1}{2}\right)^{2^k} \le \frac{1}{2}^{k} \forall k\ge 2,$ và $a_1=\frac{1}{2}.$
Suy ra
$$a_1+a_2+...+a_n\le \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k}<1.$$
Có lẽ đã lệch môt tí.
$a_k\le \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{k-1}} \le \left (\frac{1}{2}\right)^{k} \forall k\ge 2.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 15-01-2017 - 15:13
Đời người là một hành trình...
Các bài toán liên quan dãy số trên:
Bài 1:
Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định \[a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}, n\geq 1\]
a) CMR; dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đób) Đặt $b_{n} = a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ vơi mỗi số nguyên dương n .Tìm phần nguyên $\left [ b_{n} \right ]$và $\lim b_{n}.$
http://diendantoanho...ca-n2a-n2-a-n1/
Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của $\{a_n\}$ trong Bài 1.
Bài 3: Nếu thay $a_1=\frac{3}{2}$ trong Bài 1 thì ta có thể nói gì về sự hội tụ của $\{a_n\}$ .
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh