Trước tiên với một điểm thuộc $S^{1}$ là $x_{0}$ và một ánh xạ liên tục :
$$h : (S^{1},x_{0}) \to (S^{1},h(x_{0}))$$
Ta biết rằng $S^{1}$ là path-connected nên nhóm cơ bản không phụ thuộc điểm bó . Bây giờ ta một path từ $x_{0}$ đến $h(x_{0})$
$$\alpha : [0,1] \to S^{1}$$
Do $\pi_{1}(S^{1}) \cong Z$ nên nó cyclic , có phần tử sinh . Hơn nữa nếu ta cảm sinh nó
$$\hat{\alpha} : \pi_{1}(S^{1},x_{0}) \to \pi_{1}(S^{1},h(x_{0}))$$
Thì rõ ràng nó là một đẳng cấu vì $S^{1}$ path-connected nên nó mang phần tử sinh của $\pi_{1}(S^{1},x_{0})$ thành phần tử sinh $\pi_{1}(S^{1},h(x_{0}))$ . Do đó nếu ta map qua $h$ thì tồn tại một số nguyên gọi là $degh \in Z$ thỏa mãn
$$h_{*} = degh.(\hat{\alpha}): \pi_{1}(S^{1},x_{0}) \to \pi_{1}(S^{1},h(x_{0}))$$
$a)$ Chứng minh hai ánh xạ $h,k$ đồng luân trên $S^{1}$ khi và chỉ khi nó cùng $deg$
$b)$ Giả sử với mọi $h: S^{n} \to S^{n}$ tồn tại một số gọi là $deg h$ thỏa mãn ba tính chất :
$1)$ Đồng luân thì same deg
$2)$ $deg(h(k)) = degh.degk$
$3)$ $deg(Id)=1,deg(constant)=0,deg(opposite)=-1 ( (x_{1},x_{2},...x_{n}) \to (x_{1},x_{2},...-x_{n})$
Khi đó chứng minh rằng không thể co $B^{n+1}$ thành $S^{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-01-2017 - 15:45