Chủ đề này có 1 trả lời

[that bai]

Cho $b$ là một số nguyên dương thỏa mãn $b+1=q \geq 5,$ với $q$ là số nguyên tố.

Gọi $p$ là ước số nguyên tố lớn nhất của $b^y+1,q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $y.$ Chứng minh $p \geq q+2.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 31-01-2017 - 00:05

[davidsilva98]

Bài 10. Cho b là một số nguyên dương thỏa mãn b + 1 = q ≥ 5 là số nguyên tố.
Gọi p là ước số nguyên tố lớn nhất của $b^{y}$ + 1, q là ước số nguyên tố nhỏ nhất của

y. Chứng minh rằng:
p ≥ q + 2.

 

Dễ thấy nếu $q=2$ thì bài toán được giải quyết. Do đó xét $q>2$ nên $y$ lẻ

 

Gọi $t=ord_{p}(q-1)$. Ta xét các trường hợp sau:

 

Trường hợp 1. Nếu $t=1$ thì $ord_{p}(q-1)=1$. Dẫn đến $$q-1\equiv 1(mod\: p)\Rightarrow \left.\begin{matrix}p \end{matrix}\right|q-2\Rightarrow q-2\geq p\:(1)$$ Mặt khác, ta lại có $\left.\begin{matrix}q \end{matrix}\right|(q-1)^y+1$ và  $p$ là ước số nguyên tố lớn nhất của $(q-1)^y+1$ nên suy ra $q\leq p\:(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $q\leq p\leq q-2$. Dẫn đến điều mâu thuẫn.

Trường hợp 2. Nếu $t=2$ thì $ord_{p}(q-1)=2\Rightarrow \left.\begin{matrix}p \end{matrix}\right|(q-1)^2-1=q(q-2)$

 

Do $p,q$ là các số nguyên tố nên $(p,q)=1$. Dẫn đến $ \left.\begin{matrix}p \end{matrix}\right|q-2\Rightarrow q-2\geq p\:(3)$

 

Mặt khác, ta lại có $\left.\begin{matrix}q \end{matrix}\right|(q-1)^y+1$ và  $p$ là ước số nguyên tố lớn nhất của $(q-1)^y+1$ nên suy ra $q\leq p\:(4)$

 

Từ $(3)$ và $(4)$ ta được $q\leq p\leq q-2$. Dẫn đến điều mâu thuẫn.

 

Trường hợp 3. Xét $t>2$.Từ giả thiết suy ra $$\left.\begin{matrix}p \end{matrix}\right|(q-1)^{2y}-1\Rightarrow \left.\begin{matrix}t\end{matrix}\right|2y$$ Do $t>2$ nên $ \left.\begin{matrix}t \end{matrix}\right|y$ mà $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $y$. Dẫn đến $q\leq t(*)$

 

Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ ta được $$(q-1)^{p-1}\equiv 1(mod\: p)$$ Từ đó suy ra $t\leq p-1(**)$. Kết hợp giữa $(*)$ và $(**)$ suy ra $q\leq p-1\Leftrightarrow p\geq q+1$

 

Do $p,q$ là số nguyên tố lẻ nên $p\neq q+1$ nên $p\geq q+2$