Chủ đề này có 2 trả lời

[supernatural1]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$ \frac{bc}{2a+b+c}+\frac{ca}{a+2b+c}+\frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{a+b+c}{4} $

[sharker]

 

  $\frac{{bc}}{{a + b + a + c}} \leqslant \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) $

  $\frac{{ac}}{{a + b + b + c}} \leqslant \frac{{ac}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) $

  $\frac{{ab}}{{a + c + b + c}} \leqslant \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) $

  $ \to \sum {\frac{{bc}}{{2a + b + c}}}  \leq \frac{1}{4}\sum {\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{ac}}{{a + b}}} \right)}  = \frac{1}{4}\sum {\frac{{c(a + b)}}{{a + b}} = \frac{{a + b + c}}{4}}  $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 11-01-2017 - 20:41

[Baoriven]

Ta có: $\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$.

Tương tự, suy ra:

$\frac{bc}{2a+b+c}+\frac{ca}{a+2b+c}+\frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}(\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ca+ab}{b+c})$.

Ta có đpcm. 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c> 0$.