Đến nội dung

Hình ảnh

cho a,b,c>0 chứng minh $\frac{a}{3a+b+2c}+\frac{b}{3b+c+2a}+\frac{c}{3c+a+2b}\leq \frac{1}{2}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
shindora

shindora

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

cho a,b,c>0 chứng minh $\frac{a}{3a+b+2c}+\frac{b}{3b+c+2a}+\frac{c}{3c+a+2b}\leq \frac{1}{2}$



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta có: $\frac{a}{2a+(a+c)+(b+c)}\leq \frac{a}{9}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$.

Tương tự, với 2 BĐT còn lại ta có:

$LHS\leq \frac{1}{18}.3+\frac{1}{9}.3=\frac{1}{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh