Chủ đề này có 1 trả lời

[Subtract Zero]

Cho $a,b,c>0, n\in \mathbb{N}^* > 1$

CMR $\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^\frac{1}{n}\geq 2$

[tenlamgi]

Vì bất đẳng thức thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=1$

Bất đẳng thức trở thành:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}\geq 2$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{x}{1-x})^{1/n}$ ta có: $f''(x)\geq 0\forall x \in(0;1)$ và n>1

Vậy theo BDT Jensen ta có:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}= f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=3\sqrt[n]{1/2}\geq 3\sqrt{1/2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}> 2$

Vậy đẳng thức không xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tenlamgi: 12-01-2017 - 12:37