1 reply to this topic

[KaveZS]

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(1,1,1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P)

[vkhoa]

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(1,1,1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P)

Lần lượt hạ $MG, MH, MI$ vuông góc $(OBC), (OCA), (OAB)$ tại $G, H, I$

có $MG =MH =MI =1$

$AM$ cắt $BC$ tại $D$, $BM$ cắt $CA$ tại $E$, $CM$ cắt $BA$ tại $F$

$MG //OA\Rightarrow G\in(OAD)\Rightarrow G\in OD$

tương tự, $H\in OE, I\in OF$

ta có $\frac1{OA} =\frac{GM}{OA} =\frac{DM}{DA} =\frac{S_{DMB}}{S_{DAB}} =\frac{S_{DMC}}{S_{DAC}} =\frac{S_{DMB}+S_{DMC}}{S_{DAB} +S_{DAC}} =\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}$

tương tự $\frac1{OB} =\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}, \frac1{OC} =\frac{S_{AMB}}{S_{ABC}}$

$\Rightarrow\frac1{OA} +\frac1{OB} +\frac1{OC} =\frac{S_{BMC} +S_{CMA} +S_{AMB}}{S_{ABC}} =1 \geqslant \frac3{\sqrt[3]{OA .OB .OC}}$

$\Rightarrow OA.OB.OC\geqslant 27$

$\Rightarrow V_{OABC}$ nhỏ nhất khi $OA =OB =OC$

$\Rightarrow D, E, F$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$

$\Rightarrow M$ là trọng tâm $ABC$

$O.ABC$ là chóp đều

$\Rightarrow OM\perp (ABC)$

$\Rightarrow$ pt $(ABC)$ là $1(x -1) +1(y -1) +1(z -1) =0$

$\Leftrightarrow x +y +z -3 =0$

Attached Images

•