Chủ đề này có 6 trả lời

[Dark Repulsor]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

          $f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y)$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$

[9nho10mong]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

          $f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y)$ $\forall x,y\in\mathbb{R} \quad{(1)}$

 

Trong $(1)$ thay $x= f(y)$ có

$$ f(2 f(y)) = f(0) - 4 f^2 (y) \ ; \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$

Trong $(1)$ thay $x= 2 f(x) - f(y)$ có

$$ f(2 (f(x)-f(y))) =f(2 f(x)) + 4 \cdot \left(2 f(x)-f(y) \right) \cdot f(y)\ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)}$$

Từ $(3)$, sử dụng $(2)$ ta được

$$f(2 (f(x)-f(y))) =  f(0) - \left( 2 \left( f(x) - f(y) \right) \right)^2  \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(4)}$$

Dễ thấy hàm số $f(y) = 0 \ ; \ \forall y \in \mathbb{R}$ là một nghiệm hàm của $(1)$.

 

Xét trường hợp tồn tại $c \in \mathbb{R}$ thỏa $f(c) \neq 0 $.

 

Trong $(1)$ thay $y=c$ có

$$ f(x - f(c)) - f(x+f(c)) = 4x f(c)  \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(5)}$$

Với mọi số thực $t$ tùy ý, trong $(4)$, thay $x= \dfrac{t}{8f(c)} - f(c)$ và $y= \dfrac{t}{8f(c)} + f(c)$, lúc đó theo $(5)$ thì $ \displaystyle f(\dfrac{t}{8f(c)} - f(c))-f(\dfrac{t}{8f(c)} + f(c)) = \dfrac{t}{2}$, như vậy $(4)$ trở thành

$$ f(t)= f(0)-t^2  \ ; \ \forall t \in \mathbb{R} $$

Thử lại vào $(1)$, nhận thấy $\forall a \in \mathbb{R}$, hàm số $ f(t)= a -t^2  \ ; \ \forall t \in \mathbb{R} $ thỏa $(1)$.

 

Như vậy, nghiệm của bài toán là  $f(x) = 0 \ ; \ \forall x \in \mathbb{R}$ và $ f(x)= a -x^2  \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 9nho10mong: 14-01-2017 - 21:06

[Dark Repulsor]

Trong $(1)$ thay $x= f(y)$ có

$$ f(2 f(y)) = f(0) - 4 f^2 (y) \ ; \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$

Trong $(1)$ thay $x= 2 f(x) - f(y)$ có

$$ f(2 (f(x)-f(y))) =f(2 f(x)) + 4 \cdot \left(2 f(x)-f(y) \right) \cdot f(y)\ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)}$$

Từ $(3)$, sử dụng $(2)$ ta được

$$f(2 (f(x)-f(y))) =  f(0) + \left( 2 \left( f(x) - f(y) \right) \right)^2  \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(4)}$$

Dễ thấy hàm số $f(y) = 0 \ ; \ \forall y \in \mathbb{R}$ là một nghiệm hàm của $(1)$.

 

Xét trường hợp tồn tại $c \in \mathbb{R}$ thỏa $f(c) \neq 0 $.

 

Trong $(1)$ thay $y=c$ có

$$ f(x - f(c)) - f(x+f(c)) = 4x f(c)  \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(5)}$$

Với mọi số thực $t$ tùy ý, trong $(4)$, thay $x= \dfrac{t}{8f(c)} - f(c)$ và $y= \dfrac{t}{8f(c)} + f(c)$, lúc đó theo $(5)$ thì $ \displaystyle f(\dfrac{t}{8f(c)} - f(c))-f(\dfrac{t}{8f(c)} + f(c)) = \dfrac{t}{2}$, như vậy $(4)$ trở thành

$$ f(t)= f(0)+t^2  \ ; \ \forall t \in \mathbb{R} $$

Thử lại vào $(1)$, nhận thấy $\forall f(0) \in \mathbb{R}$, hàm số $ f(t)= f(0)+t^2  \ ; \ \forall t \in \mathbb{R} $ không thỏa $(1)$.

 

Như vậy, nghiệm của bài toán là  $f(x) = 0 \ ; \ \forall x \in \mathbb{R}$.

Bạn xem lại có sai chỗ nào ko? Bài này còn nghiệm hàm $f(x)=-x^2$ nữa

[9nho10mong]

Bạn xem lại có sai chỗ nào ko? Bài này còn nghiệm hàm $f(x)=-x^2$ nữa

 

Mình viết nhầm dấu ở chỗ

 

$$f(2 (f(x)-f(y))) =  f(0) \color{red}{+} \left( 2 \left( f(x) - f(y) \right) \right)^2  \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(4)}$$

 

Đúng ra nó phải là

 

 

$$f(2 (f(x)-f(y))) =  f(0)  \color{red}{-} \left( 2 \left( f(x) - f(y) \right) \right)^2  \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(4)}$$

[manhtuan00]

Ta có $f(x-f(y)) - f(x+f(y)) = 4xf(y)$

Từ đây ta có nếu $f$ khác hằng số thì $f(x)-f(y)$ nhận mọi giá trị trên tập số thực 

Thế $x$ bởi $f(y)$ ta có $f(2f(y)) = f(0) - 4f^2(y)$

Thế $x$ bởi $2f(x) - f(y)$ ta có f(2(f(x)−f(y)))=f(0)−(2(f(x)−f(y)))2 ; ∀x,y∈R

Từ đây ta có $f(x) = f(0) - x^2$

[Zeref]

Trong $(1)$ thay $x= f(y)$ có

$$ f(2 f(y)) = f(0) - 4 f^2 (y) \ ; \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$

Trong $(1)$ thay $x= 2 f(x) - f(y)$ có

$$ f(2 (f(x)-f(y))) =f(2 f(x)) + 4 \cdot \left(2 f(x)-f(y) \right) \cdot f(y)\ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)}$$

Để có được điều này thì $f$ phải là toàn ánh phải không bạn ? Chứng minh nó là toàn ánh làm sao nhỉ ?

[manhtuan00]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 15-01-2017 - 14:02