Một bài giảng thú vị bởi Manjul Bhargava về lý thuyết số về khía cạnh mật độ của các số.
Khởi đầu là một câu hỏi đơn giản về mật độ của các số không có ước chính phương của một số nguyên tố. Manjul dẫn tới một câu hỏi tổng quát hơn về các đa thức nguyên (vẫn là một bài toán mở và chỉ giải được nếu cho thêm các điều kiện). Cụ thể, mật độ của các giá trị không có ước chính phương cho bởi một đa thức nguyên f(X) m biến là $\prod_p (1-\frac{c_p}{p^{2m}})$ với $c_p=|\left\{X \in (\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z})^{m}|f(X)=0 \mod p^2\mathbb{Z}\right\}|$.
Ở đây mật độ là mật độ tự nhiên (trường hợp các đa thức có hơi khác một chút). Tức là nếu S là một tập con của tập các số tự nhiên thì mật độ của S được cho bởi
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathbb{N}_{<x} \cap S}{\mathbb{N}_{<x}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 14-01-2017 - 20:14
