Kỳ thi HSG tỉnh 12 năm 2017
Ngày 13-1-2017
Thời gian: 3h
1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4-2mx^2+m^2$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác nhận $I(0,1)$ làm tâm nội tiếp.
2.
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
3.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$, $B$. $AB=BC=a$, $AD=2a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $AD$. Góc giữa hai mặt $(SCD)$ và $(ABCD)$ là $60^{\circ}$. $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{SM}+3\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{0}$, $N$ là trung điểm của $CD$. CMR $DM$ vuông góc với $AN$ và tính khoảng cách từ $M$ đến mặt $(SCD)$ theo $a$.
4.
Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ trên $(O)$. Giả sử tiếp tuyến tại $A,B$ cắt nhau tại $P$. Trên $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $AC$ cắt $BP$ tại $D$ và $BC$ cắt $AP$ tại $E$.
a. CMR các đường tròn $(ACE)$, $(BCD)$, $(ADP)$ cùng đi qua một điểm.
b. CMR tâm ngoại tiếp của $(ACE)$, $(BCD)$, $(PCO)$ cùng nằm trên một đường thẳng.
5.
Một bộ gồm $n$ ($n\in\mathbb{N}$, $n\geq 2$) số nguyên phân biệt không có thứ tự $(a_1,\, a_2,\,\ldots ,\, a_n)$ ($a_i>1$ với $1\leq i\leq n$) được gọi là bộ $n$-đẹp nếu với với mỗi $i$, $a_i$ chia hết $\prod_{k\ne i} {a_k}+1$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho tồn tại duy nhất một bộ $n$-đẹp
(hai bộ được gọi là khác nhau nếu có một số nguyên thuộc vào bộ này mà không thuộc vào bộ kia).
-Hết-