Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Tìm tất cả các hàm số: $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn:

$f(f(x))=6x-f(x)$

[IHateMath]

Bài này là PUTNAM 1988 A5. Lời giải sau rất quen thuộc đối với bài này.

Xem $x$ là một hằng số và xét dãy $\left\{ y_n\right\}$ với $y_1=x$, $y_{n+1}=f(y_n)$. Từ đề bài ta có $y_{n+2}=6y_n-y_{n+1}$ với mọi $n\in\mathbb{N}$. Từ công thức xác định số hạng tổng quát của một dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, ta có:

$y_n=c.2^n+c^*.(-3)^n$

trong đó $c,\, c^*$ là các hằng số sao cho $c+c^{*}=x$. Xét $\frac{y_{n}}{2^n}=c+c^{*}.\left(\frac{-3}{2}\right)^{n}$. Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: $c^{*}<0$. 

Khi đó do $\lim_{n\rightarrow\infty} {\left(\frac{-3}{2}\right)^{2n}}=\infty$ nên tồn tại $m\in\mathbb{N}$ sao cho $\frac{y_{2m}}{2^{2m}}<0$, điểu này vô lý vì $y_n>0\,\forall n$.

Trường hợp 2: $c^{*}>0$.

Khi đó $\lim_{n\rightarrow\infty} {\left(\frac{-3}{2}\right)^{2n+1}}=-\infty$ nên tồn tại $p\in\mathbb{N}$ sao cho $\frac{y_{2p+1}}{2^{2p+1}}<0$, vô lý vì $y_n>0\,\forall n$.

Vậy $c^{*}=0$, tức là $f(x)=2x\,\forall x\in\mathbb{R^{+}}$. Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn. Vậy đáp số của bài toán là:

$\boxed{f(x)=2x\,\forall x\in\mathbb{R^+}}$