Bài $1$:
Một khối gạch hình lập phương không thấm nước có cạnh bằng $2$ được đặt vào trong một chiếc phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích còn lại ở trong phễu
Bài $2$:
Cho $4$ hình cầu có cùng bán kính bằng $2006^{-1}$ và chúng được sắp xếp sao cho đôi một tiếp xúc nhau. Ta dựng mặt phẳng sao cho mỗi mặt phẳng đều tiếp xúc với $3$ hình cầu và không có điểm chung với hình cầu còn lại. Bốn mặt phẳng đó tạo nên một hình tứ diện. Gọi $V$ là thể tích của khối tứ diện đó, khi đó thể tích $V$ là ?
Bài 1 :
Giả sử cạnh $AA'$ nằm trên mặt nước, các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón.Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm $AA',BD',CC'$ và gọi $O,R$ là đỉnh và bán kính đáy hình nón ($I,J,K$ đều thuộc trục hình nón và $IJ=JK=\sqrt{2}$).Ta có :
Khoảng cách từ mỗi điểm $C,C'$ đến trục hình nón là $r_1=KC=1$
Khoảng cách từ mỗi điểm $B,D,D',B'$ đến trục hình nón là $r_2=JB=\frac{\sqrt{BD^2+BB'^2}}{2}=\sqrt{3}$
$\frac{OK}{r_1}=\frac{OK+\sqrt{2}}{r_2}=\frac{OK+2\sqrt{2}}{R}\Rightarrow OK=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ ; $R=2\sqrt{3}-1$ ; $OI=\frac{\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{2}$
Thể tích hình nón là $\frac{\pi R^2.OI}{3}=\frac{\pi (2\sqrt{3}-1)^2(\sqrt{6}+5\sqrt{2})}{6}=\frac{(53\sqrt{2}-7\sqrt{6})\pi}{6}$
Thể tích còn lại trong phễu là $\frac{(53\sqrt{2}-7\sqrt{6})\pi-48}{6}$
Bài 2 :
Gọi tâm các hình cầu là $A,B,C,D$, bán kính các hình cầu là $r=2006^{-1}$.Tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều có cạnh là $2r$
Gọi $O$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$.$O$ cách đều các mặt của tứ diện $ABCD$ do đó nó cũng cách đều các mặt của tứ diện mà ta cần tính thể tích, tạm gọi là tứ diện $A'B'C'D'$ ($A'\in OA;B'\in OB;...$)
Hai tứ diện (đều) $ABCD$ và $A'B'C'D'$ đồng dạng và có cùng trọng tâm $O$.
Gọi $G,G'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$CM=\sqrt{3}\ r\Rightarrow GM=\frac{\sqrt{3}}{3}\ r$
$DG=\sqrt{DM^2-GM^2}=\sqrt{CM^2-GM^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ r\Rightarrow OG=\frac{DG}{4}=\frac{\sqrt{6}}{6}\ r$
$OG'=OG+r=\frac{\sqrt{6}+6}{6}\ r$
Tỷ số đồng dạng $k=\frac{OG'}{OG}=1+\sqrt{6}$
$V_{ABCD}=\frac{CM.AB.DG}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\ r^3$
Thể tích tứ diện cần tính là :
$V_{A'B'C'D'}=k^3.V_{ABCD}=\frac{(\sqrt{2}\ kr)^3}{3}=\frac{1}{3}\left ( \frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2006} \right )^3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-01-2017 - 22:34
