Chủ đề này có 11 trả lời

[013]

Cho hai lũy thừa 2ⁿ và 5ⁿ với n là số tự nhiên khác 0.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của n để $2^{n}$ và $5^{n}$ có cùng chữ số đầu tiên.

[lelehieu2002]

n nhỏ nhất cần tìm là số 5 bạn à vì

2^5=32

5^5=3125

có chữ số đầu tiên là 3 giống nhau

[013]

n nhỏ nhất cần tìm là số 5 bạn à vì

2^5=32

5^5=3125

có chữ số đầu tiên là 3 giống nhau

Khi trình bày nên trình bày như thế nào cho phù hợp? Giải thích cụ thể.

[lelehieu2002]

thử lần lượt các mũ trên máy tính cầm tay 

[013]

Câu b) CMR nếu 2ⁿ và 5ⁿ có cùng chữ số đầu tiên thì chữ số ấy là duy nhất.

[lelehieu2002]

câu b) thì mình chưa làm được 

[013]

thử lần lượt các mũ trên máy tính cầm tay 

Bạn có thể giải theo kiểu số học được không ?

[lelehieu2002]

mình chua biết cách giải thích

[bangbang1412]

Bài này khá hay , bây giờ ta biết rằng đã tồn tại $n=5$ thỏa mãn ta thấy số chữ số của $2^{n}$ là $x$ thì $x = [ n log 2 ]+1 $ , tương tự số chữ số của $5^{n}$ là $[ nlog5] +1$. Bây giờ giả sử $2^{n},5^{n}$ có cùng chữ số đầu tiên thì tồn tại $t,m$ thỏa mãn 

$$k.10^{t} < 2^{n} < (k+1) 10^{t}$$

$$k.10^{m} < 5^{n} < (k+1) 10^{m}$$

Khi đó ta có :

$$k^{2} < 10^{n-t-m} < (k+1)^{2}$$

Ta thấy các số chính phương sinh bởi $1-9$ là $1-4-9-16-25-...81$ do đó tồn tại duy nhất lũy thừa của $10$ bị kẹp giữa là $10$

$$n - t - m = 1,k=3$$ ( đây là lý do sao bạn chỉ ra ví dụ chữ số đầu là $3$ ) 

Và có thể kiếm tra một mối liên hệ giữa $t,m,[nlog2]+1,[nlog5]+1$ ( cái này mình không làm , cũng không có giấy bút ) 

Mình đã ktra lại bài này không thể duy nhất được , có vô số $n$ thỏa mãn $2^{n},5^{n}$ cùng chữ số đầu tiên , và chữ số đó phải là $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-01-2017 - 22:49

[013]

Bài này khá hay , bây giờ ta biết rằng đã tồn tại $n=5$ thỏa mãn ta thấy số chữ số của $2^{n}$ là $x$ thì $x = [ n log 2 ]+1 $ , tương tự số chữ số của $5^{n}$ là $[ nlog5] +1$. Bây giờ giả sử $2^{n},5^{n}$ có cùng chữ số đầu tiên thì tồn tại $t,m$ thỏa mãn 

$$k.10^{t} < 2^{n} < (k+1) 10^{t}$$

$$k.10^{m} < 5^{n} < (k+1) 10^{m}$$

Khi đó ta có :

$$k^{2} < 10^{n-t-m} < (k+1)^{2}$$

Ta thấy các số chính phương sinh bởi $1-9$ là $1-4-9-16-25-...81$ do đó tồn tại duy nhất lũy thừa của $10$ bị kẹp giữa là $10$

$$n - t - m = 1,k=3$$ ( đây là lý do sao bạn chỉ ra ví dụ chữ số đầu là $3$ ) 

Và có thể kiếm tra một mối liên hệ giữa $t,m,[nlog2]+1,[nlog5]+1$ ( cái này mình không làm , cũng không có giấy bút ) 

Mình đã ktra lại bài này không thể duy nhất được , có vô số $n$ thỏa mãn $2^{n},5^{n}$ cùng chữ số đầu tiên , và chữ số đó phải là $3$

$[ n log 2 ]$ là gì vậy. em mới học lớp 9 chứ mấy 

Nếu: có vô số $n$ thỏa mãn $2^{n},5^{n}$ cùng chữ số đầu tiên , và chữ số đó phải là $3$  thì bác có thể liệt kê vài số được không?

[bangbang1412]

$[ n log 2 ]$ là gì vậy. em mới học lớp 9 chứ mấy 
Nếu: có vô số $n$ thỏa mãn $2^{n},5^{n}$ cùng chữ số đầu tiên , và chữ số đó phải là $3$  thì bác có thể liệt kê vài số được không?

ví dụ ngoài $5$ còn có $15$ . Để chứng minh thì cần sử dụng tính trù mật .

[013]

ví dụ ngoài $5$ còn có $15$ . Để chứng minh thì cần sử dụng tính trù mật .

Tính trù mật là gì vậy ạ?