Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$ và có ba góc đều nhọn. Gọi $D$, $E$, $F$ là chân đường cao đỉnh $A$, $B$, $C$ lên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tương ứng. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp $(AOD)$, $(BOE)$, $(COF)$ cắt các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ kéo dài tương ứng tại $I$, $J$, $K$. Chứng minh rằng $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

 

Capture.PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-01-2017 - 20:19


#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Do $\widehat{AOI}=\widehat{ADI}=90^0$ nên xét phép nghịch đảo tâm $O$ phương tích $OA^2$ ta đưa bài toán về bổ đề sau:

Bổ đề. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O),$ đường thẳng qua $O$ vuông góc $OA$ cắt $(BOC)$ ở $I.$ Tương tự có $J,K.$ Chứng minh $O,I,J,K$ đồng viên.

Chứng minh. Gọi các tiếp tuyến qua $B,C$ cắt nhau ở $D.$ Tương tự có $E,F.$ Khi đó ta phải có $D \in (BOC).$

Do vậy $\widehat{DIO}=90^0 \Rightarrow DI \perp EF.$ Tương tự $EJ,FK \perp FD,DE \Rightarrow DI,EJ,FK$ đồng quy ở $H.$

Vậy $O,I,J,K,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OH,$ đpcm. 


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh