Chủ đề này có 2 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(x+y^{2}+z^{3})=f(x)+f^{2}(y)+f^{3}(z)$

Với mọi $x,y,z$ là các số thực

[I Love MC]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(x+y^{2}+z^{3})=f(x)+f^{2}(y)+f^{3}(z) (1)$

Với mọi $x,y,z$ là các số thực

Kí hiệu $P(n,m,k)$ là việc thế $x=n,y=m,z=k$ vào $(1)$ 
Có $P(0,0,0) \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=-1$ 
Nếu $f(0)=-1$ thì ta có 
$P(0,0,z) \Rightarrow f(z^3)=f^3(z) \Rightarrow f(x+y^2+z^3)=f(x)+f^2(y)+f(z)$ 
Do đó $f(x+z)=f(x)+f(z)+1 ,\forall x,z \in \mathbb{R}$ 
Ta có $f(x+y^2+z^3)=f(x+y^2)+f(z^3)+1=f(x)+f(y^2)+f^3(z)+2$ cộng thêm với $(1)$ ta có $f(y^2)=f^2(y)-2 (2)$ 
Từ $(2)$ ta có $f(y^6)=f^2(y^3)-2=f^6(y)-6 \Rightarrow f^6(y)-2=f(y^6)=f^3(y^2)=(f^2(y)-2)^3 \Leftrightarrow f^2(y)=1$ 
$\Rightarrow f(y)=\pm 1$ 
$P(x,y,0) \Rightarrow f(x+y^2)=f(x)  \Rightarrow f(x)$ là hàm hằng dễ chứng minh được $f(y)=-1$ 
Nếu $f(0)=0$ 
$P(0,y,0) \Rightarrow f(y^2)=f^2(y) \Rightarrow f(y) \ge 0 ,\forall y \ge 0$ 
$P(0,0,z) \Rightarrow f(z^3)=f^3(z) \Rightarrow f(x+z^3)=f(x)+f^3(z) \Rightarrow f(x+z)=f(x)+f(z),x,z \in \mathbb{R}$ 
Ta đi chứng minh $f$ đơn điệu tại $0$ . Từ dòng trên ta có $f(x-x)=f(x)+f(-x) \Rightarrow f(x)=-f(-x) (+)$
Kết hợp với $f(y) \ge 0,y \ge 0 \Rightarrow f(y) \le 0 ,\forall y \le 0$ . Từ đó suy ra $f$ dơnđiệu tại $0 (++)$ 
Từ $(+),(++) \Rightarrow f(x)=ax$ thế vào $(1) \Rightarrow a=0,a=1$ . Thử lại $f(x)=0,f(x)=x$ điều thỏa 
Vậy có ba hàm thỏa điều kiện đề bài là $f(x) \equiv -1 ,f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x ,\forall x \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 16-01-2017 - 20:22

[Phan Tien Ngoc]

đơn giản hóa bài toán như sau :

xét $f(0)=0$ cho y = 0 $f(x+z^3)=f(x)+f^3(z); f(z^3)=f^3(z)$ suy ra $f(x+z^3)=f(x)+f(z^3)$

Do tương ứng từ $z\rightarrow z^3$ là song ánh suy ra 

$f(x+z)=f(x)+f(z)$ (đây là phương trình hàm cauchy quen thuộc )

xét $f(0)=-1$ .$P(0,0,z)\rightarrow f(z^3)=f^3(z)$ . $P(x,0,z)\rightarrow f(x+z^3)=f(x)+f(z^3)+1\rightarrow f(x+z)=f(x)+f(z)+1$

sử dụng liên tiếp $f(nx)=f(x)+f((n-1)x)+1=2f(x)+f((n-2)x)+2=...=nf(x)+n-1$ . đến đây đơn giản rồi .