Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 3 tháng 1 năm 2017: Chứng minh $PA^2=PI \cdot PJ$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 1 đã được thầy Hùng cho tại đây và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.

 

 Screen Shot 2017-01-16 at 12.25.20 AM.png


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Bổ đề : , tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ , tiếp tuyến tại $A$ cắt tiêp tuyến tại $B,C$ tại $F, E$ , $G,H$ là trung điểm $ CF, BE$ , đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AO$ cắt $GH$ tại $J$ , $X$ là trung điểm $BC$ , Chứng minh $JO=JX$

-Giải : Gọi $JO$ cắt $BC$ tại $U$ . , $BC$ cắt $FE$ tại $M$ , $BF$ cắt $CE$ tại $N$ , $NX$ giao $FE$ tại $Z$ , $AO$ cắt $BC$ tại $Y$

 ta có $HG$ là đường thẳng $Gauss$ nên $GH$ đi qua trung điểm $MN$ 

 mặt khác$\frac{ZF}{ZE}=\frac{NF}{NE}=\frac{YC}{YB}$ nên theo bổ đề ERIQ thì trung điểm $YZ$ cũng thuộc $GH$

 ta lại có$\frac{OZ}{OY}=\frac{OA}{OX}=\frac{ON}{OA}$ suy ra $AN$ song song $YZ$

 có :$\frac{UM}{UY}=\frac{OA}{OY}=\frac{ON}{OZ}$ nên theo bổ đề ERIQ thì trung điểm 3 đoạn $MN,UO,YZ$ thẳng hàng ,, khi đó $J$ là trung điểm $UO$ , Khi đó $JX=JO$

Trở lại bài toán gọi $P'$ đối xứng với $A$ qua $P$ , ta sẽ chứng minh $(A,P',I,J)=-1$

 -phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì , ta đưa về bài toán sau ( kí hiệu điểm không đổi khi nghịch đảo : Cho tam giác $ABC$  , $(I)$ là $A$ bàng tiếp  cắt $CA,AB$ tại $E,F$  , $AI$ cắt $FE$ tại $J$  ,  , đường thẳng qua $A$ song song với $FC$ cắt $(AFC)$ tại $T$ , $L$ đối xứng với $A$ qua $FC$ , $S,K$ xác định tương tự , $(ATL)$ cắt $(ASK)$ tại $M$ , $N$ thuộc đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$ sao cho $IA=IN$ $(AMN)$ cắt $AI$ tại $P$ , $P'$ là trung điểm $AP$ , Chứng mình : $P'$ cũng là trung điểm $JI$

Giải ,  Nếu goi $G,H$ là trung điểm $BE, CF$ thì $(ATL)$ chính là $(H,HA)$ ,  và nếu gọi $GH$ cắt đường thẳng qua $I$ song song $BC$ tại $U$ thì là tâm $(AMN)$ , để chứng minh $P'$ cũng là trung điểm $JI$ thì ta chứng minh $UI=UJ$ 

- Lược bỏ các điểm không cần thiết , ta đưa về bài toán : , Cho tam giác $ABC$ , $(I)$ là $A$ bàng tiếp  cắt $CA,AB$ tại $E,F$  . $AI$ cắt $FE$ tại $J$ .$G,H$ là trung điểm $BE, CF$..$GH$ cắt đường thẳng qua $I$ song song $BC$ tại $U$ , chứng mình $UI=UJ$ , đây chính là bổ đề trên


~O)  ~O)  ~O)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh