Cho $P\left ( x \right )=x^{n} + 5x^{n-1} +3$ trong đó $n\epsilon \mathbb{Z}, n> 1$. CMR: P(x) không thể biểu diễn dưới dạng tích 2 đa thức với hệ số nguyên, bậc $\geq$1
$P\left ( x \right )=x^{n} + 5x^{n-1} +3$. CMR: P(x) không thể biểu diễn dưới dạng tích 2 đa thức với hệ số nguyên, bậc $\geq$1
#1
Đã gửi 16-01-2017 - 06:16
#2
Đã gửi 16-01-2017 - 16:06
Ta phát biểu tiêu chuẩn sau đây :
Tiêu chuẩn Oskar Perron : Cho $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_0 \in \mathbb{Z[x]},a_0 \ne 0$ . Nếu $|a_{n-1}|>1+..+|a_0|$ thì $f$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$
Áp dụng tiêu chuẩn cho $P(x)$ ta có đpcm (cách chứng minh tiêu chuẩn bạn có thể tham khảo tài liệu khác)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 10-02-2017 - 23:27
- lelehieu2002 và Thuat ngu thích
#3
Đã gửi 08-02-2017 - 15:07
Đây là bài toán IMO '93/1. Lời giải trong Short-list không cần dùng đến một tiêu chuẩn nào:
Giả sử rằng $P(x)=Q(x).R(x)$ trong đó $Q,\ R$ là các đa thức hệ số nguyên khác hằng số. Do $P(0)=3$ nên $Q(0).R(0)=3$, suy ra một trong hai số $| Q(0) |$, $|R(0)|$ phải bằng 1, giả sử $|Q(0)|=1$.
Giả sử rằng
$$Q(x)=x^k+a_1x^{k-1}+\ldots +a_k$$
($k>1$ vì $P(\pm 1)\ne 0$) và $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \ldots ,\ \alpha_k$ là tất cả các nghiệm phức của phương trình $Q(x)=0$. Khi đó:
$$Q(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots (x-\alpha_k)$$
Để ý rằng $|Q(0)|=|\alpha_1 .\alpha_2 \ldots\alpha_k|=1$. Thay $x=\alpha_i$ vào phương trình $P(x)=0$ ta được:
$$P(\alpha_i)=\alpha_i^{n-1}.(\alpha_i+5)=-3$$
Nhân tất cả các biểu thức như trên với $i$ chạy từ 1 tới $k$ ta thu được:
$$|(\alpha_1+5)(\alpha_2+5)\ldots (\alpha_k+5)|=3^k.\ (*)$$
Từ phương trình $Q(-5)=|(\alpha_1+5)(\alpha_2+5)\ldots (\alpha_k+5)|$ và $P(-5)=Q(-5).R(-5)=3$ ta suy ra $|(\alpha_1+5)(\alpha_2+5)\ldots (\alpha_k+5)|$ bằng 1 hoặc 3, mâu thuẫn với $(*)$ vì $k>1$. Mâu thuẫn này cho ta điểu phải chứng minh. $\square$
- Thuat ngu yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh