Đến nội dung

Hình ảnh

$P\left ( x \right )=x^{n} + 5x^{n-1} +3$. CMR: P(x) không thể biểu diễn dưới dạng tích 2 đa thức với hệ số nguyên, bậc $\geq$1

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Thuat ngu

Thuat ngu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

Cho $P\left ( x \right )=x^{n} + 5x^{n-1} +3$ trong đó $n\epsilon \mathbb{Z}, n> 1$. CMR: P(x) không thể biểu diễn dưới dạng tích 2 đa thức với hệ số nguyên, bậc $\geq$1



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Ta phát biểu tiêu chuẩn sau đây : 
Tiêu chuẩn Oskar PerronCho $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_0 \in \mathbb{Z[x]},a_0 \ne 0$ . Nếu $|a_{n-1}|>1+..+|a_0|$ thì $f$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ 
Áp dụng tiêu chuẩn cho $P(x)$ ta có đpcm (cách chứng minh tiêu chuẩn bạn có thể tham khảo tài liệu khác)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 10-02-2017 - 23:27


#3
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đây là bài toán IMO '93/1. Lời giải trong Short-list không cần dùng đến một tiêu chuẩn nào:

Giả sử rằng $P(x)=Q(x).R(x)$ trong đó $Q,\ R$ là các đa thức hệ số nguyên khác hằng số. Do $P(0)=3$ nên $Q(0).R(0)=3$, suy ra một trong hai số $| Q(0) |$, $|R(0)|$ phải bằng 1, giả sử $|Q(0)|=1$.

Giả sử rằng

$$Q(x)=x^k+a_1x^{k-1}+\ldots +a_k$$

($k>1$ vì $P(\pm 1)\ne 0$) và $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \ldots ,\ \alpha_k$ là tất cả các nghiệm phức của phương trình $Q(x)=0$. Khi đó:

$$Q(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots (x-\alpha_k)$$

Để ý rằng $|Q(0)|=|\alpha_1 .\alpha_2 \ldots\alpha_k|=1$. Thay $x=\alpha_i$ vào phương trình $P(x)=0$ ta được:

$$P(\alpha_i)=\alpha_i^{n-1}.(\alpha_i+5)=-3$$

Nhân tất cả các biểu thức như trên với $i$ chạy từ 1 tới $k$ ta thu được:

$$|(\alpha_1+5)(\alpha_2+5)\ldots (\alpha_k+5)|=3^k.\ (*)$$

Từ phương trình $Q(-5)=|(\alpha_1+5)(\alpha_2+5)\ldots (\alpha_k+5)|$ và $P(-5)=Q(-5).R(-5)=3$ ta suy ra $|(\alpha_1+5)(\alpha_2+5)\ldots (\alpha_k+5)|$ bằng 1 hoặc 3, mâu thuẫn với $(*)$ vì $k>1$. Mâu thuẫn này cho ta điểu phải chứng minh. $\square$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh