Chủ đề này có 1 trả lời

[tuanthuy9cc]

Cho x,y thỏa mãn 0$\leq x,y\leq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{\sqrt{x}}{1+y}$ + $\frac{\sqrt{y}}{1+x}$ $\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 16-01-2017 - 22:36

[tritanngo99]

Cho x,y thỏa mãn 0$\leq x,y\leq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{\sqrt{x}}{1+y}$ + $\frac{\sqrt{y}}{1+x}$ $\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$ 

Đặt $(x+1;y+1)=(p,q)\implies p,q\in [1;\frac{3}{2}]$.

Khi đó ta có: $\left\{\begin{matrix} (p-\frac{3}{2})(q-\frac{3}{2})\ge 0\\ p(p-\frac{3}{2})\le 0\\ q(q-\frac{3}{2})\le 0  \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} pq\ge \frac{3}{2}(p+q)-\frac{9}{4}(1)\\p^2\le \frac{3p}{2}(2)\\ q^2\le \frac{3q}{2}  \end{matrix}\right.$

Khi đó: $P=\frac{\sqrt{x}}{y+1}+\frac{\sqrt{y}}{x+1}=\frac{\sqrt{p-1}}{q}+\frac{\sqrt{q-1}}{p}=\frac{p\sqrt{p-1}+q\sqrt{q-1}}{pq}$.

Ta có: $p\sqrt{p-1}=\frac{\sqrt{2}}{3}.(2.\frac{p}{\sqrt{2}}.\frac{3}{2}\sqrt{p-1})\le^{AM-GM} \frac{\sqrt{2}}{3}[\frac{p^2}{2}+\frac{9}{4}(p-1)]$

$\le \frac{\sqrt{2}}{3}[\frac{3p}{4}+\frac{9}{4}(p-1)](\text{ do (2)})=\frac{\sqrt{2}}{3}(3p-\frac{9}{4})$.

Hay $p\sqrt{p-1}\le \frac{\sqrt{2}}{3}(3p-\frac{9}{4})$.

Tương tự ta có: $q\sqrt{q-1}\le \frac{\sqrt{2}}{3}(3q-\frac{9}{4})$.

$\implies p\sqrt{p-1}+q\sqrt{q-1}\le \frac{\sqrt{2}}{3}[3(p+q)-\frac{9}{2}]\le \frac{2\sqrt{2}}{3}pq(\text{ do (1)})$.

Từ đây $\implies P\le \frac{2\sqrt{2}}{3}\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$.