Cho $a, b, c > 0.$ Chứng minh rằng $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$
$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$
Bắt đầu bởi Zz Isaac Newton Zz, 18-01-2017 - 11:05
#2
Đã gửi 18-01-2017 - 11:34
PlanBbyFESN
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 637 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a, b, c > 0.$ Chứng minh rằng $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$
$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$
- manhhung2013, CaptainCuong, hoaichung01 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 18-01-2017 - 11:51
Zz Isaac Newton Zz
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
Chị có thể giải bài này bằng SOS được không, chứ cách này thì em biết rồi...
#4
Đã gửi 19-01-2017 - 15:47
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
Cho $a, b, c > 0.$ Chứng minh rằng $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$
Có thể dùng dồn biến. Chuẩn hóa $abc=1$ và và xét
\[f(a,b,c) = (a+b+c - 4)(a+b)(b+c)(c+a) + 8.\]
Đi chứng minh
\[f(a,b,c) \geqslant f(t,t,c) \; \text{ với } t = \sqrt{ab} \geqslant 1,\]
và kiểm tra
\[f(t,t,c) = f\left(t,t,\frac{1}{t^2}\right)=\frac{2[(2t^3+2t+1)(t^2-1)^2+t^2(2t+1)](t-1)^2}{t^5} \geqslant 0.\]
- manhhung2013 và Kamii0909 thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
