Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangvipmessi97]

Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hoặc phân kỳ của các chuỗi sau:

a) $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n. \sin (2n)}{2^n + 1}$

b)  $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{7^n}. \left ( 1 + \frac{2}{n} \right ) ^{n^2}$

c)  $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}.(n!)^3}{(3n)!}$

d) $\Large \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 18-01-2017 - 16:32

[An Infinitesimal]

Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hoặc phân kỳ của các chuỗi sau:

a) $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n. \sin (2n)}{2^n + 1}$

b)  $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{7^n}. \left ( 1 + \frac{2}{n} \right ) ^{n^2}$

c)  $\Large \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}.(n!)^3}{(3n)!}$

d) $\Large \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 6}$

a)  Vì $\left|\frac{n \sin (2n)}{2^n + 1}\right| \le \frac{n}{2^n}$ và $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ hội tụ theo tiêu chuẩn tỉ số.

Do đó  $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\sin (2n)}{2^n + 1}$ hội tụ tuyệt đối.

 

b) Đặt $b_n=\frac{(-1)^n}{7^n}. \left ( 1 + \frac{2}{n} \right ) ^{n^2} \forall n\in \mathbb{N}.$

Ta có $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|b_n|}=\lim_{n\to \infty} \frac{ \left ( 1 + \frac{2}{n} \right ) ^{n}}{7}=\frac{e^2}{7}>1.$

Suy ra $\lim_{n\to \infty}|b_n|= \infty$ nên chuỗi (b) phân kỳ. 

 

c) Đặt $c_n=\frac{(-1)^{n-1}.(n!)^3}{(3n)!}\forall n\in \mathbb{N}.$

Ta có 

$\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|} = \frac{(n+1)^2}{3(3n+1)(3n+2)} \to \frac{1}{27} (<1)$ khi $n\to \infty.$

Vì thế  $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$ hội tụ tuyệt đối.

 

 

d) Đặt $d_n=\frac{n}{n^2+6}\forall n\in \mathbb{N}.$

Vì $\{d_n\}$ là dãy số giảm, hội tụ về $0$ nên chuỗi đan dấu $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}d_n$ hội tụ.

Dễ thấy chuỗi không hội tụ tuyệt đối.

 

 

 

Do đó  $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\sin (2n)}{2^n + 1}$ hội tụ tuyệt đối.