Xác định vị trí mặt phẳng $(P)$ để thiết diện có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất.
#1
Đã gửi 18-01-2017 - 19:23
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#2
Đã gửi 20-01-2017 - 17:40
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $I$ và $K$ là trung điểm của $AB$ và $CD$, mặt phẳng $(P)$ chứa $IK$ cắt tứ diện theo 1 thiết diện. Xác định vị trí mặt phẳng $(P)$ để thiết diện có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất.
Gọi $(Q)$ là một mặt phẳng nào đó sao cho $IK$ _|_ $(Q)$ (Khi đó $(P)$ cũng luôn luôn vuông góc với $(Q)$)
Giả sử $(P)$ cắt tứ diện theo thiết diện là tứ giác $IMKN$ (không làm mất tính tổng quát ta giả sử $M$ thuộc cạnh $AD$ ; $N$ thuộc cạnh $BC$)
Lưu ý rằng $M$ có thể trùng với $A$ hoặc $D$, khi đó $N$ sẽ trùng với $B$ hoặc $C$ và tứ giác $IMKN$ trở thành tam giác $ABK$ hoặc $CDI$ nhưng ta vẫn xem đó là "tứ giác" $IMKN$ với góc $K$ hoặc $I$ bằng $180^o$
Gọi hình chiếu của $A,B,C,D,I,K,M,N$ trên $(Q)$ lần lượt là $A',B',C',D',I',K',M',N'$ ($I'$ trùng với $K'$)
Dễ dàng nhận thấy các tam giác $A'I'D'$ và $B'I'C'$ vuông cân tại $I'$ ; tứ giác $A'D'B'C'$ là hình vuông có $A'B'=a$ và $I'$ là trung điểm của $M'N'$
Mặt khác tứ giác $IMKN$ có $IM=IN$ ; $KM=KN\Rightarrow IK$ _|_ $MN$
$\Rightarrow S_{IMKN}=\frac{IK.MN}{2}=\frac{IK.M'N'}{2}=IK.I'M'$
Dễ dàng tính được $IK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.Do đó nếu gọi $J$ là trung điểm $A'D'$ thì :
$S_{IMKN_{max}}=IK.I'A'=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\ a^2$ (khi $M$ và $N$ trùng với đỉnh của tứ diện)
$S_{IMKN_{min}}=IK.I'J=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^2}{4}$ (khi $M$ và $N$ là trung điểm của cạnh tứ diện)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-01-2017 - 17:53
- Viet Hoang 99 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh