Đến nội dung

Hình ảnh

Chóp SABC. 1mp (P) thay đổi // mp (ABC), cắt SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. I là giao điểm 3 mp (A'BC),(B'CA),(C'AB). Chứng minh I thuộc 1 đường

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Thuat ngu

Thuat ngu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

Cho hình chóp SABC. 1mp (P) thay đổi // mp (ABC), cắt SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. I là giao điểm 3 mp (A'BC),(B'CA),(C'AB). Chứng minh I thuộc 1 đường thẳng cố định.



#2
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết

Cho hình chóp SABC. 1mp (P) thay đổi // mp (ABC), cắt SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. I là giao điểm 3 mp (A'BC),(B'CA),(C'AB). Chứng minh I thuộc 1 đường thẳng cố định.

Gọi D là giao điểm của BC' và B'C
ta có AD là giao tuyến của (AB'C) và (ABC') (1)
SD cắt BC tại E
áp dụng định lí Ceva cho 3 đường đồng quy SE, BC', CB' và tam giác SBC, có
$\frac{B'S}{B'B} .\frac{EB}{EC} .\frac{C'C}{C'S} =1$
$\Leftrightarrow\frac{EB}{EC} =\frac{B'B}{B'S} .\frac{C'S}{C'C} =1$ (vì B'C' //BC)
$\Rightarrow$ E là trung điểm BC cố định (2)
có A'E là giao tuyến của (SEA) và (A'BC) (3)
A'E cắt AD tại I (4)
từ (1, 3, 4)$\Rightarrow$ I chính là giao điểm của (ABC'), (AB'C), (A'BC)
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng B', D, C và tam giác SBE, có
$\frac{B'B}{B'S} .\frac{CE}{CB} .\frac{DS}{DE}=1$
$\Leftrightarrow\frac{B'B}{B'S}.\frac{DS}{DE}  =2$ (5)
SI cắt AE tại G
áp dụng đl Ceva cho 3 đường đồng quy SG, AD, EA' và tam giác SAE, ta có
$\frac{GE}{GA} .\frac{A'A}{A'S} .\frac{DS}{DE} =1$
$\Leftrightarrow \frac{GE}{GA} .\frac{B'B}{B'S} .\frac{DS}{DE} =1$ (6)
từ (5, 6)$\Rightarrow\frac{GE}{GA} =\frac12$ (7)
từ (2, 7)$\Rightarrow$ G là trọng tâm tam giác ABC
vậy I thuộc đường thẳng SG cố định

Hình gửi kèm

  •  mp (ABC), cắt SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. I là giao điểm 3 mp (A'BC),(B'CA),(C'AB). Cm I thuộc 1 đường thẳng cố định.png





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh