Chủ đề này có 4 trả lời

[hoahoanaa]

cho x,y,z la cac so duong va xy+yz+zx =1. chung minh rang

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq 3$

[hanguyen445]

Dùng BĐT phụ: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Hình gửi kèm

• 

[tienduc]

cho x,y,z la cac so duong va xy+yz+zx =1. chung minh rang

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq 3$

Đặt $P=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

Ta có $P\sqrt{2}=\sum \sqrt{(x+y)^{2}+x^{2}+y^{2}}\geq \sum \sqrt{\frac{3(x+y)^{2}}{2}}\geq \sum \sqrt{\frac{3}{2}}(x+y)$

Mà $(x+y+z)^{2}\geq 3(x+yz+zx)=9\rightarrow x+y+z\geq 3$

$P\sqrt{2}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}(x+y+z).2\geq \sqrt{\frac{3}{2}}.6\rightarrow P\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 19-01-2017 - 11:35

[diemdaotran]

ta có: $\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}+\frac{(x-y)^2}{4}}\geq \sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}$

tương tự rồi cộng vế ta được 

P$\geq \sqrt{3}(x+y+z)$

Mà $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)=3 \Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}.\sqrt{3}=3$

dấu (=) xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Minhnksc]

cho x,y,z la cac so duong va xy+yz+zx =1. chung minh rang

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq 3$

cái này dùng minkowski là xong, nếu không thì tách bình phương như kiểu điềm đạo là được