Lời giải của em (do lời giải em lấy nguyên xi từ bữa gửi tạp chí nên một số điểm không giống trong đề của thầy)
Trường hợp 1: Tam giác ABC cân, khi đó dễ dàng chứng minh được $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$
Trường hợp 2: Tam giác ABC không cân, giả sử $AB<AC$
Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $\Delta$ với $AB,AC$, $X,Y$ lần lượt là giao điểm của $EM$ với $AB$, $AC$ với $FN$.
Ta có: $\widehat{EXB}=90^{\circ}-\widehat{EPX}=\widehat{\frac{A}{2}}=\widehat{FYC}$
Ta chứng minh $\frac{XM}{XA}=\frac{YN}{YA}$
$\Leftrightarrow \frac{XM}{MD}.\frac{MD}{XA}=\frac{YN}{ND}.\frac{ND}{YA}$
$\Leftrightarrow \frac{XM}{MD}=\frac{YN}{ND}$ (vì $\frac{MD}{XA}=\frac{BD}{BA}=\frac{CD}{CA}=\frac{ND}{YA}$)
$\Leftrightarrow \frac{XM}{YN}=\frac{MD}{ND} \Leftrightarrow \frac{BM.CD}{CN.BD}=\frac{IE}{IF}$ (vì $EM|| ID|| FN$ nên $\frac{MD}{DN}=\frac{IE}{IF}$)
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}.\frac{IF}{IE}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BE}{IE}.\frac{IF}{CF}=\frac{AB}{AC}$ (có $\frac{BM}{CN}=\frac{BE}{CF}$ theo định lý Sin)
$\Leftrightarrow \frac{\sin \widehat{\frac{C}{2}}}{\cos \widehat{\frac{B}{2}}}:\frac{\sin \widehat{\frac{B}{2}}}{\cos \widehat{\frac{C}{2}}}=\frac{\sin \widehat{C}}{\sin \widehat{B}}=\frac{AB}{AC}$ (Đúng)
Do đó $\Delta AMX\sim \Delta ANY$ nên $\widehat{MAX}=\widehat{NAY}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 20-01-2017 - 06:01