Chủ đề này có 4 trả lời

[ductuMATHER]

Tìm GTLN của x+y+z biết $\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz$ = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductuMATHER: 20-01-2017 - 22:01

[tuan25]

3x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2yz=2<=>(x+y+z)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}=2=>(x+y+z)^{2}\leq 2=>x+y+z\leq \sqrt2
 

[Nguyenhuyen_AG]

Tìm GTLN của x+y+z biết $\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz$ = 1

 

Ta có

\[2\left(\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\right) -(x+y+z)^2 = \frac{1}{2}(2x-y-z)^2+\frac{1}{2}(y-z)^2 \geqslant 0.\]

Do đó

\[(x+y+z)^2 \leqslant 2\left(\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\right),\]

hay

\[x+y+z \leqslant \sqrt{2\left(\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\right)}.\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z.$ Cho $\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz=1$ ta thu được bài toán ban đầu.

[ductuMATHER]

thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductuMATHER: 21-01-2017 - 12:36

[tritanngo99]

Tìm GTLN của x+y+z biết $\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz$ = 1

Lời giải khác tương tự cách anh Huyện:

Ta có: $1=\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2+\frac{1}{4}(y-z)^2\ge \frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2$.

Lại có: $\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2=\frac{1}{2}(x+y+z)^2+\frac{1}{4}(2x-y-z)^2\ge \frac{1}{2}(x+y+z)^2$.

$\implies x+y+z\le \sqrt{2}$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}$.