Chủ đề này có 7 trả lời

[thinhtrantoan]

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

T= $\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

[sharker]

 

  $\sum {\frac{a}{{3a + b + c}}}  \leqslant \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum {\frac{{3a}}{{3a + b + c}} \leqslant \frac{9}{5} \Leftrightarrow \sum {1 - \frac{{b + c}}{{3a + b + c}} \leqslant } } \frac{9}{5} $

  $BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} \geqslant } \frac{6}{5} $

 $ \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(3a + b + c)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}} }  $

  $BDT \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant 6\sum {{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $

   $\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $

  ${\Delta _a} =  - 3{(b - c)^2} \leqslant 0 $

  mà $a > 0 $

   $\to f(a) \geqslant 0(dpcm) $(định lý về dấu của tam thức bậc 2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 21-01-2017 - 23:36

[Baoriven]

Xét $a+b+c=k> 0$.

Để thuận tiện , ta cho $k=3$.

Khi đó: $\frac{a}{3a+b+c}= \frac{a}{2a+3}\leq \frac{3}{25}a+\frac{2}{25}$.

BĐT cuối đúng vì: $\frac{a}{2a+3}\leq \frac{3}{25}a+\frac{2}{25}\Leftrightarrow \frac{6}{25}(a-1)^2\geq 0$.

Tương tự, ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1.$

[trambau]

 

 

  $\sum {\frac{a}{{3a + b + c}}}  \leqslant \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum {\frac{{3a}}{{3a + b + c}} \leqslant \frac{9}{5} \Leftrightarrow \sum {1 - \frac{{b + c}}{{3a + b + c}} \leqslant } } \frac{9}{5} $

  $BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} \geqslant } \frac{6}{5} $

 $ \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(3a + b + c)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}} }  $

  $BDT \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant 6\sum {{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $

   $\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $

  ${\Delta _a} =  - 3{(b - c)^2} \leqslant 0 $

  mà $a > 0 $

   $\to f(a) \geqslant 0(dpcm) $(định lý về dấu của tam thức bậc 2)

 

em ý ms c2 sao đi dùng đạo hàm zợ :v

[thinhtrantoan]

 

 

  $\sum {\frac{a}{{3a + b + c}}}  \leqslant \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum {\frac{{3a}}{{3a + b + c}} \leqslant \frac{9}{5} \Leftrightarrow \sum {1 - \frac{{b + c}}{{3a + b + c}} \leqslant } } \frac{9}{5} $

  $BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} \geqslant } \frac{6}{5} $

 $ \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(3a + b + c)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}} }  $

  $BDT \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant 6\sum {{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $

   $\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $

  ${\Delta _a} =  - 3{(b - c)^2} \leqslant 0 $

  mà $a > 0 $

   $\to f(a) \geqslant 0(dpcm) $(định lý về dấu của tam thức bậc 2)

 

e không hiểu chỗ này lắm

[tienduc]

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

T= $\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Xét hiệu $3-2T= 1-\frac{2a}{3a+b+c}+1-\frac{2b}{3b+c+a}+1-\frac{2c}{3c+a+b}$

$\rightarrow 3-2T= (a+b+c)(\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+c+a}+\frac{1}{3c+a+b})$

Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có 

$\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+c+a}+\frac{1}{3c+a+b}\geq \frac{9}{5(a+b+c)}$

$3-2T\geq (a+b+c).\frac{9}{5(a+b+c)}= \frac{9}{5}$

$\rightarrow T\leq \frac{3}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 22-01-2017 - 11:08

[sharker]

e không hiểu chỗ này lắm

 

Biến đổi Tương đương thôi mà :3  

$BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}}  \geqslant \frac{6}{5} $

  $ \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant \sum {6{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $

   $\Leftrightarrow 8\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} - bc + {c^2}} \right) \geqslant 0 $

   $\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $

 

p/s:Trâm Bầu, cái này nâng cao lớp 9 cx học r mà 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 22-01-2017 - 11:49

[KietLW9]

Lời giải. Ta có: 

$VP-VT=\frac{2}{5}\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{(3a+b+c)(3b+c+a)}\geqslant 0$