Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ xét hai hình $H_1$, $H_2$ được xác định như sau:
$H_1=\left \{ M(x;y)|\log (1+x^2+y^2)\leqslant 1+\log (x+y) \right \}$
$H_2=\left \{ N(x;y)|\log (2+x^2+y^2)\leqslant 2+\log (x+y) \right \}$
Gọi $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích của các hình $H_1$, $H_2$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$
$\log(1+x^2+y^2)\leqslant 1+\log(x+y)\Leftrightarrow 1+x^2+y^2\leqslant 10^{1+\log(x+y)}=10x+10y$
$\Leftrightarrow (x-5)^2+(y-5)^2\leqslant 49$
Và
$\log(2+x^2+y^2)\leqslant 2+\log(x+y)\Leftrightarrow 2+x^2+y^2\leqslant 10^{2+\log(x+y)}=100x+100y$
$\Leftrightarrow (x-50)^2+(y-50)^2\leqslant 4998$
Vậy $H_1$ và $H_2$ lần lượt là các hình tròn có bán kính là $7$ và $\sqrt{4998}$
$\Rightarrow \frac{S_1}{S_2}=\frac{49}{4998}=\frac{1}{102}$.