Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}}\leq \frac{3}{2}$

* * * * * 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

 

Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ca}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leq \frac{3}{2}$


:huh:


#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

 

Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ca}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leq \frac{3}{2}$

 

Chứng minh

\[\frac{a}{\sqrt{1+bc}} \leqslant \frac{30a^2+21ab+21ca}{20(a^2+b^2+c^2)+28(ab+bc+ca)}.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

 

Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ca}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có :

$$\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}} \leq \sqrt{3.(a+b+c)(\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab})}$$

Ta quy bài toán về chứng minh $$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab} \leq \frac{9}{4(a+b+c)}$$

Ta có $$VT=(a+b+c)-abc.(\sum \frac{1}{1+bc}) \leq a+b+c-\frac{9abc}{3+ab+bc+ca} \leq a+b+c-\frac{9abc}{4}$$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$$9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)-(a+b+c)^3=(a+b+c)[(a+b+c)^2-2]=(a+b+c)^3-2(a+b+c)$$

Ta quy bài toán về chứng minh :

$$(a+b+c)^3-2(a+b+c) \leq \frac{9}{4(a+b+c)}$$

$$\Leftrightarrow 6(a+b+c)^2-(a+b+c)^4 \leq 9 \Leftrightarrow [(a+b+c)^2-3]^2 \geq 0$$

Chứng minh hoàn tất.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh