1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
2, Với mọi số dương a;b;c. Chứng minh: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$
1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
#1
Đã gửi 22-01-2017 - 20:45
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.
#2
Đã gửi 22-01-2017 - 21:31
1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Ở đây
- hanh7a2002123 yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 22-01-2017 - 21:35
1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Am-Gm:
$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{2y}{x})^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+\frac{2y}{x})(\frac{4y^{2}}{x^{2}}-\frac{2y}{x}+1)}}\geq \frac{2}{\frac{4y^{2}}{x^{2}}+2}=\frac{1}{\frac{2y^{2}}{x^{2}}+1}$
$\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}=\sqrt{\frac{4}{1+(\frac{x}{y}+1)^{3}}}=\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{x}{y}+1)((\frac{x}{y}+1)^{2}-\frac{x}{y})}}\geq \frac{4}{(\frac{x}{y}+1)^{2}+1}$
Đặt $\frac{x}{y}=a\rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{a}$
CM: $\frac{1}{\frac{2}{a^{2}}+1}+\frac{4}{(a+1)^{2}+2}\geq 1\Leftrightarrow 2(a-1)^{2}\geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq 1$
- manhhung2013 và hanh7a2002123 thích
#4
Đã gửi 22-01-2017 - 21:46
2, Với mọi số dương a;b;c. Chứng minh: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$
Trông có vẻ phức tạp nhưng :
$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}$
$\frac{ab}{a+b}\leq \frac{ab}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\sqrt{ab}$.............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 22-01-2017 - 21:47
- hanh7a2002123 yêu thích
#5
Đã gửi 27-04-2021 - 20:06
1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)
$\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh