Câu 1: Cho dãy số $\{a_n\}$ xác định như sau
$$0<a_n< 1,\ a_n(1-a_{n+1})\geq \frac{1}{4},\ n \in \mathbb{N}.$$
Chứng minh dãy số đã cho hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Câu 2: Giả sử $f \in C([0,2])$. Chứng minh rằng tồn tại $x_1$ và $x_2$ trong $[0,2]$ sao cho $x_2 -x_1 =1$ và $f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{2} (f(2)-f(0))$.
Câu 3: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(x+1)+f(x-1) =\sqrt{2} f(x).$$
Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ là hàm tuần hoàn và tìm chu kỳ của nó.
Câu 4: Với giá trị nào của $x$ thì thích phân sau đây đạt giá trị cực tiểu
$$\int_x^{x^2} \frac{1}{t} \ln \frac{t-1}{32}dt.$$
Câu 5: Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau
$$x_{n+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4} \cos x_n.$$
Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$ và tìm giới hạn này.
Câu 6: Cho đa thức $P(x)$ bậc 2017 và có đúng 2017 nghiệm thực phân biệt khác 0. Chứng minh rằng phương trình $(x+1)P(x) + xP'(x) =0$ cũng có ít nhất 2017 nghiệm thực.