Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{2}+y^{2}=n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Tìm $n$ nguyên dương để phương trình $x^{2}+y^{2}=n$ có nghiệm nguyên dương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-01-2017 - 09:41

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Tìm $n$ nguyên dương thỏa mãn phương trình sau:

$x^{2}+y^{2}=n$

có nghiệm nguyên dương

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 28-01-2017 - 13:31


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Tìm $n$ tức là tìm tất cả $n$ để cho nó biểu diễn được không phải chỉ ra tồn tại vô hạn


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Tìm $n$ tức là tìm tất cả $n$ để cho nó biểu diễn được không phải chỉ ra tồn tại vô hạn

Đề bài đâu yêu cầu tìm tất cả $n$ đâu anh.

Lời giải trên em chỉ ra với $n=3^{2^k}-1$ hoặc $n$ là số nguyên tố dạng $4k+1$ thì luôn tồn tại $x,y$. (Khi đó chọn $k$ bất kì thì luôn biểu diễn được ._.)

Có gì sai sót đại ca chỉ giáo :D 



#5
JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết

Tất cả các số $n$ thoả mãn $v_p(n)\vdots 2$ với mọi $p$ nguyên tố dạng $4k+3$. Lưu ý rằng mọi số nguyên tố có dạng $4k+1$ đều biểu diễn được dưới dạng $x^2+y^2$ và nếu $a,b$ biểu diễn được thì $ab$ cũng biểu diễn được ($(x^2+y^2)(m^2+n^2)=(xm+yn)^2+(xn-ym)^2$). Ngược lại, dễ chứng minh nếu $n=x^2+y^2$ chia hết cho $p$ với $p$ nguyên tố dạng $4k+3$ thì cả $x,y$ đều chia hết cho $p$, từ đó tổng bình phương chia hết cho $p^2$ nên $v_p(n)\vdots 2$.



#6
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Gọi mlà ước chính phương lớn nhất của n . Nên n = m2k

Ta sẽ chứng minh khẳng định sau đây 

Điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương là 

+ Nếu k=1 thì m có ước nguyên tố dạng 4k+1

+ Nếu k>1 thì l không có ước nguyên tố dạng 4k-1 

P/s : Mình đọc trong quyển bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng  hình như là tập 1 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 28-01-2017 - 17:12

      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#7
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Tại sao bác lại chọn được $n=3^{2^k}-1$?


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#8
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Đề bài đâu yêu cầu tìm tất cả $n$ đâu anh.

Lời giải trên em chỉ ra với $n=3^{2^k}-1$ hoặc $n$ là số nguyên tố dạng $4k+1$ thì luôn tồn tại $x,y$. (Khi đó chọn $k$ bất kì thì luôn biểu diễn được ._.)

Có gì sai sót đại ca chỉ giáo :D

Đề bài của bạn NTM có lẽ ghi thiếu :D đề kêu tìm $n$ thì mình nghĩ ta cũng nên tự hiểu là vét cạn 



#9
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Một câu hỏi khó hơn: Với mỗi $n$ như JUV nhắc đến, phương trình $x^2+y^2=n$ có bao nhiêu nghiệm nguyên $(x,y)$ ?


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#10
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Tại sao bác lại chọn được $n=3^{2^k}-1$?

À đây là một bài toán mình đọc được trong cuốn Problem From The Book.

Đề bài : Chứng minh rằng phương trình : $3^k=m^2+n^2+1$ có vô số nghiệm nguyên dương.

Đáp án là $k=2^n$ đã gợi ra cho mình cách chọn trên. Và có thể thấy nếu thay đổi số 3 thành một số thích hợp khác thì lời giải không bị thay đổi nhiều



#11
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Một câu hỏi khó hơn: Với mỗi $n$ như JUV nhắc đến, phương trình $x^2+y^2=n$ có bao nhiêu nghiệm nguyên $(x,y)$ ?


Gọi $S(n)$ là tổng các $v_{p}$ thì số nghiệm là $2^{S(n)-1}$ dĩ nhiên là các lũy thừa không tính các số $4k+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-01-2017 - 11:30

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh