Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\le \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$
Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\le \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$
Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\leq \frac{\left ( a+c \right )\left ( b+d \right )}{a+b+c+d}\\\Leftrightarrow ab+cd+ab.\frac{c+d}{a+b}+cd.\frac{a+b}{c+d}\leq ab+bc+cd+da\\\Leftrightarrow ad\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d} \right )+bc\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{d}{c+d} \right )\leq ad+bc$
Ta sẽ chứng minh hai bộ số sau đơn điệu ngược chiều: $\left \{ ad,bc \right \};\left \{ \left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d} \right ),\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{d}{c+d} \right ) \right \}$ $(*)$
Thật vậy, xét tích: $\left ( ad-bc \right )\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}-\frac{a}{a+b}-\frac{d}{c+d} \right )=\frac{-2\left ( ac-bd \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( c+d \right )}\leq 0$
$\Rightarrow$ $(*)$ đúng.
Áp dụng bất đẳng thức $\textrm{Chebyshev}$ cho hai bộ số đơn điệu ngược chiều $\left \{ ad,bc \right \};\left \{ \left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d} \right ),\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{d}{c+d} \right ) \right \}$, ta có:
$ad\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d} \right )+bc\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{d}{c+d} \right )\leq \frac{1}{2}\left ( ad+bc \right )\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{a}{a+b}+\frac{d}{c+d} \right )=ad+bc$
$\rightarrow Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-01-2017 - 22:04
Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\le \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$
Câu này là đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực phía bắc năm nào không nhớ.
Viết bất đẳng thức lại như sau
\[\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d} \geqslant \frac{\left ( a+c \right )\left ( b+d \right )}{a+b+c+d},\]
hay là
\[\frac{a+b}{4}-\frac{ab}{a+b}+\frac{c+d}{4}-\frac{cd}{c+d} \geqslant \frac{a+b+c+d}{4} - \frac{\left ( a+c \right )\left ( b+d \right )}{a+b+c+d},\]
hoặc
\[\frac{(a-b)^2}{a+b}+\frac{(c-d)^2}{c+d} \geqslant \frac{(a+c-b-d)^2}{a+b+c+d}.\]
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh