#1
Posted 28-12-2017 - 18:54
- Minhnksc likes this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Posted 28-12-2017 - 22:09
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:$g(1)=1$$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$Tìm số $k$ nhỏ nhất.
Ta xét bài toán tổng quát :
- perfectstrong and minhbeo12 like this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Posted 30-12-2017 - 21:17
Ta xét bài toán tổng quát :
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:$g(1)=1$$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$....................................................................................................................Nhận xét :$k_1=1$$k_2=3k_1-1=3^1-1$$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.
Mình nghĩ bạn nên chứng minh rõ mệnh đề đúng với mọi a
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Posted 31-12-2017 - 15:41
Edited by namcpnh, 31-12-2017 - 15:45.
- chanhquocnghiem likes this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#5
Posted 31-12-2017 - 17:08
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:$g(1)=1$$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$Tìm số $k$ nhỏ nhất.
Ta xét bài toán tổng quát :
- perfectstrong and namcpnh like this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Posted 02-01-2018 - 20:12
minh
Ta xét bài toán tổng quát :
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:$g(1)=1$$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.Với $a=1$, ta có $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)Trước hết, ta cần chứng minh $k_{a+1}=3k_a-1$ (1)+ Với $a=1$ : Ta có $\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(3)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}g(2)=0\\g(2)=2 \end{array}\right.\Rightarrow k_2=2=3k_1-1$. Vậy mệnh đề (1) đúng khi $a=1$+ Với $a> 1$ : Khi đó $k_a> 1$ và $g(k_a)=a$. Suy ra $g(m)< a,\forall m< k_a$ ($m\in\mathbb{N}^*$) (2)tức là các giá trị $g(1);g(2);g(3);...;g(k_a-1)$ đều nhỏ hơn $a$$\Rightarrow$ các giá trị $g(3);g(6);g(9);...;g(3k_a-3)$ cũng đều nhỏ hơn $a$ (3)Bây giờ ta xét các giá trị $g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3)$ với $t$ là số nguyên bất kỳ thỏa mãn $1\leqslant t\leqslant k_a-2$Ta có $\left\{\begin{matrix}g(3t)=g(t)\\g(3t+3)=g(t+1) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left | g(3t+3)-g(3t) \right |=1$Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p\\g(3t+3)=p+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p-1\\g(3t+1)=p+1 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+2\\g(3t+2)=p \end{array}\right. \end{matrix}\right.$Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p+1\\g(3t+3)=p \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p\\g(3t+1)=p+2 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+1\\g(3t+2)=p-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$Trong cả 2 trường hợp, ta đều có : $\max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )=\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )+1$Mà từ (3), ta có $\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )< a$$\Rightarrow \max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )\leqslant a,\forall t$ nguyên từ $1$ đến $k_a-2$nghĩa là các giá trị $g(3);g(4);g(5);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1 (4)Lại có $g(1)=1$ ; $g(2)\leqslant 2\Rightarrow g(1)$ và $g(2)$ cũng nhỏ hơn a+1 (5) (vì đang xét $a\geqslant 2$)(4), (5) $\Rightarrow g(1);g(2);g(3);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1 (6)Giờ ta xét đến $g(3k_a-3);g(3k_a-2);g(3k_a-1)$ và $g(3k_a)$Ta có $g(3k_a-3)=g(k_a-1)$ ; $g(3k_a)=g(k_a)=a$Mà $\left | g(k_a-1)-g(k_a) \right |=1$ và $k_a-1< k_a$ nên theo (2) ta có $g(k_a-1)=g(k_a)-1=a-1$Do đó $\left\{\begin{matrix}g(3k_a-3)=g(k_a-1)=a-1\\g(3k_a)=g(k_a)=a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3k_a-2)=a-2\\g(3k_a-2)=a \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3k_a-1)=a+1\\g(3k_a-1)=a-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$ (7)Từ (6) và (7) $\Rightarrow k_{a+1}=3k_a-1$ (vì $3k_a-1$ là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(3k_a-1)=a+1$)Vậy ta có $k_{a+1}=3k_a-1$ đúng với mọi $a\in\mathbb{N}^*$$k_1=1$$k_2=3k_1-1=3^1-1$$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3^1+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$Cho $a=2001$, ta được đáp án bài toán là $\frac{3^{2000}+1}{2}$.
Mình không hiểu lắm chỗ xét g(3t)=p lắm
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#7
Posted 02-01-2018 - 23:02
minh
Mình không hiểu lắm chỗ xét g(3t)=p lắm
Do $\left | g(3t+3)-g(3t) \right |=1$ nên có 2 khả năng xảy ra :
$\left\{\begin{matrix}g(3t)=p\\g(3t+3)=p+1 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p+1\\g(3t+3)=p \end{matrix}\right.$ (với $p$ là một số nguyên nào đó)
Trường hợp thứ nhất, vì $g(3t)=p$ nên theo dữ kiện đề bài $\left | g(n+1)-g(n) \right |=1$ ta suy ra $g(3t+1)=$ p-1 hoặc p+1
và vì $g(3t+3)=p+1$ nên cũng từ dữ kiện đó suy ra $g(3t+2)=$ p+2 hoặc p
Tóm lại nếu $g(3t+1)=p-1$ thì $g(3t+2)=p$ ; còn nếu $g(3t+1)=p+1$ thì $(3t+2)=p+2$
Như vậy, nếu giá trị lớn nhất trong 2 giá trị $g(3t);g(3t+3)$ là p+1 thì giá trị lớn nhất trong 4 giá trị $g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3)$ không vượt quá p+2 (Trường hợp thứ hai cũng tương tự như thế)
Mà tất cả các giá trị $g(3);g(6);g(9);...;g(3k_a-3)$ (tương ứng với $t$ từ 1 đến $k_a-1$) đều nhỏ hơn $a$ (đã nói ở đoạn trên) nên suy ra mọi giá trị $g(n)$ với $n$ từ $3$ đến $3k_a-3$ đều nhỏ hơn a+1
Sau đó chỉ cần chứng minh (một cách dễ dàng) $g(1)$ và $g(2)$ cũng nhỏ hơn a+1 là có thể kết luận $g(n)< a+1$ với mọi $n$ từ 1 đến $3k_a-3$
Cuối cùng xem xét các số kế tiếp $g(3k_a-2);g(3k_a-1);g(3k_a)$ xem số nào có khả năng đạt giá trị a+1. Đó chỉ có thể là $g(3k_a-1)$. Vậy ta chứng minh được $k_{a+1}=3k_a-1$.
Edited by chanhquocnghiem, 02-01-2018 - 23:08.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#8
Posted 19-02-2019 - 10:17
Tại sao $k_3=5$ mà ko phải $k_3=1?$Ta xét bài toán tổng quát :
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$
$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$
$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$
$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$
..........................................................
..........................................................
Nhận xét :
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.
#9
Posted 20-02-2019 - 07:17
Tại sao $k_3=5$ mà ko phải $k_3=1?$
Bạn lưu ý số $k_a$ là số nguyên dương $x$ nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$, tức là $g(x)=a$.
Mà theo đề bài :
$g(1)$ bằng $1$.
$g(2)$ bằng $0$ hoặc $2$ (do đó mới viết $g(2)\leqslant 2$)
$g(3)$ bằng $1$ (vì $g(1)=1$ và $g(3n)=g(n),\forall n\geqslant 1$)
$g(4)$ bằng $0$ hoặc $2$ (do đó mới viết $g(4)\leqslant 2$)
$g(5)$ bằng $-1;1$ hoặc $3$ (do đó mới viết $g(5)\leqslant 3$)
Vậy : $5$ là số nguyên dương nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(5)=3$
Do đó : $k_3=5$
(Chứ $g(1)=1$ thì sao có thể nói $k_3=1$ được ?)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Also tagged with one or more of these keywords: pth, namcpnh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Started by Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Started by poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Started by hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Started by hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Started by namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users