1 reply to this topic

[namcpnh]

Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn:

$f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ cùng nhau.

Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$

Edited by namcpnh, 17-01-2018 - 22:04.

[namcpnh]

Ta sẽ tìm 2 số $x,\,y$ sao cho:

$f(8)f(x)\geq f(y)f(10)$ và

$f(y)f(13)\geq f(10)f(x)$

Do đó ta cần $(8,x)=(y,10)=(y,13)=(x,10)=1$ và 

$8x\geq 10y$

$13y\geq 10x$

Nhận xét: $x,\,y$ phải lẻ và khác 1, 5.Ta xét các trường hợp sau:

TH1: Nếu chọn $y=3$ ta có:

$8x\geq 30$

$39\geq 10x$ (loại do không chọn được $x$)

TH2: Nếu chọn $y=7$ ta có:

$8x\geq 70$

$91\geq 10x$

$\Rightarrow x=9$

Vậy ta có:

$f(8)f(9)=f(72)\geq f(70)=f(7)f(10)$

$f(13)f(7)=f(91)\geq f(90)=f(9)f(10)$

$\Rightarrow f(13)f(8)\geq f(10)^2$

Edited by namcpnh, 18-01-2018 - 17:07.